Вершины четырехугольника лежат в точках а(-3; -2), в(2; 1), с(-1; 6), д(-6; 3 докажите что четырёхугольник авсд является квадратом

Решение:
Найдем длиный сторон:
АВ=√(25+9)=√34
ВC=√(9+25)=√34
CD=√(25+9)=√34
АD=√(9+25)=√34
Если диагонали у этого ромба равны, то этот четыреугольник - квадрат:
АС=√(4+64)=√68
BD=√(64+4)=√68

1)34
2)62
он решил правильно

Проведем МТ⊥АВ, МК⊥ВС, МН⊥АС. Тогда МТ = МК = МН, так как точка М равноудалена от сторон треугольника (расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую).

Проведем МО⊥АВС, тогда МО = 3 см, расстояние от точки М до плоскости АВС.

Соединим точку О с точками Т, К и Н. ОТ, ОК и ОН - проекции соответствующих наклонных на плоскость АВС и так же перпендикулярны сторонам треугольника по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.

Если наклонные, проведенные из одной точки, равны, то равны и их проекции. Значит точка О равноудалена от сторон треугольника, и значит О - центр окружности, вписанной в треугольник АВС, ОТ = ОК = ОН = r - радиус вписанной окружности.

Sabc = pr, где р - полупериметр.

p = (AB + BC + AC) / 2 = (13 + 15 + 14) / 2 = 42 / 2 = 21 см

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

Sabc = √(p(p - AB)(p - BC)(p - AC))

Sabc = √(21 · (21 - 13) · (21 - 15) · (21 - 14)) = √(21 · 8 · 6 · 7) = √(3 · 7 · 4 · 2 · 2 · 3 · 7) =

= 3 · 7 · 2 · 2 = 84 см²

r = S / p = 84 / 21 = 4 см

ΔMOK: ∠MOK = 90°, по теореме Пифагора:

              МК = √(МО²+ ОК²) = √(3² + 4²) = √25 = 5 см

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника. И является биссектрисой угла при вершине.
Пусть угол при основании х, тогда угол между высотой и боковой стороной равнобедренного треугольника равен (х-15°).
Угол при вершине в  два раза больше 2(х-15°)

Сумма  углов  треугольника равна 180°
х+ х+2·(х-15°)=180°
4х=210°
х=52,5°
х-15°=52,5-15=37,5°
Угол при вершине равнобедренного треугольника в 2 раза больше, так как высота равнобедренного треугольника является также и биссектрисой.
ответ. углы при основании 52,5°; 52,5° и угол при вершине 75°