Втреугольнике авс биссектрисы ам и вк отсекают на сторонах равные отрезки ак и в м. докажите, что треугольник авс-равнобедренный

соединим точки к и м.

обозначим для простоты записи

ab = c; bc = a; bm = n; cm = n1; ak = m; ck = m1;

по условию m = n, надо доказать, что a = b;

из свойств биссектрисы

m/m1 = c/a;

m1 = m*a/c;

n1 = n*b/c; но m = n; отсюда

n1/b = m1/a;  

то есть треугольники скм и сав подобны, км ii ав. и более того, акмв - равнобедренная трапеция. поэтому углы при основании равны, значит треугольник равнобедренный. 

можно про трапецию не упоминать, а сослаться на то, что отрезки, заключенные между параллельными прямыми, пропорциональны. то есть из равенства m = n следует m1 = n1, а значит a = b.

 

 

сумма углов в треугольника равна 180 градусам.  а + в + с = 180 градусов  угол в = (а + 60) градусов  угол с = (2*а) градусов  а + (а + 60) + 2*а = 180 градусов  раскрываем скобки:   а + а + 60 + 2*а = 180  2*а + 60 + 2*а = 180  4*а + 60 = 180  переносим известные слагаемые в одну строну, неизвестные оставляем:   4*а = (180 - 60)  4*а = 120  а = (120/4)  а = 30 градусов  проверка:   угол а = 30 градусов  угол в = 30 + 60 = 90 градусов  угол с = 2*30 = 60 градусов  30 + 90 + 60 = 180 градусов  ответ: угол а = 30 градусов, угол в = 90 градусов, угол с = 60 градусов. 

  смотри:

по теореме пифагора:

х+у=52/2=26   x=26-y

вся диагональ равна 14,т к делится пополам точкой пересечения 

x^2+y^2=14^2=196

676-2y+y^2+y^2=196

y^2-y-240=0

d=961=31^2

y1=(1+31)/2=16

y2=(1-31)2=-15

тогда x=26-16=10

следоватьльно х меньше у и минимальное 10 см