Окружности с центрами в точках m и n пересекаются в точках s и t, причём точки m и n лежат по одну сторону от прямой st.докажите что прямые mn и st перпендикулярны.

Концы хорды  ST лежат на обеих окружностях. 

Треугольники SMT и  SNT равнобедренные, так как их боковые стороны - радиусы соответственно большей и меньшей окружностей. 

В ∆ SMN и ∆ TMN стороны SM=MT; SN=NТ.  MN- общая. Эти треугольники равны по 3-м сторонам. 

Тогда ∠SМN=∠TMN, ⇒ MN- биссектриса угла SMT. В равнобедренном треугольнике биссектриса является ещё и медианой и высотой. Следовательно, MN и ST перпендикулярны.

Объяснение:

1. Периметр треугольника равен P=a+b+c

Так как AB=CD, а AB = 4, то CD=4

остальное нам дано в условии, AD=6, AC=7

получается:

P = a+b+c = 4+6+7 = 17

ответ: периметр ACD = 17

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

∠А=∠С

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны

АВ=ВС

Точка К- середина стороны АВ. АК=КВ

Точка М - середина стороны ВС ВМ=МС

АК=КВ=ВМ=МС⇒   АК=МС

Медиана ВD  делит основание АС пополам

BD=DC

Δ AKD=Δ DMC

по двум сторонам и углу между ними

1) BD=DC

2)АК=МС

3)∠А=∠С

ответ: TS=4

ΔTRS- равнобедренный, так как RТ=ТS, а высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника является его медианой, следовательно RЕ=ЕS=RS:2=24:2=12(см)

ΔTЕS- прямоугольный, следовательно по теореме Пифагора

TS²=ТЕ²+ЕS²=8²+12²=64+144=208

(см),

RT²=208

По теореме косинусов в ΔTRS  

TS²= RТ² +RS² -2TR*RS* соs∠ R ;

2RТ*RS соs∠ R = RТ² +RS²- TS²; ( так как RТ=ТS, то RТ²-ТS²=0)

 2RT*RS *соs ∠R =RS²;

RT*RS соs ∠R =RS²/2

В ΔRKS : RK=RT/2.

По теореме косинусов

SK²=RK²+RS²-2RK*RS*cos∠R=(RT/2)²+RS²-2(RT/2)*RS* соs ∠R=

=TR²/4+RS²- RT*RS* соs ∠R =TR²/4+RS² - RS²/2=