Втетраэдре dabc точка m-середина ad, p принадлежит dc и dp\pc=1\2. постройте сечение тетраэдра плоскостью проходящей через точек m и p и параллельной bc. найдите площадь сечения, если все ребра тетраэдра равны а.

В сечении имеем равнобедренный треугольник МРК. МК = МР.
Сторона РК (по свойству подобных треугольников) равна 1/4 части ВС: РК =a/4.
Так как углы всех граней тетраэдра равны 60°, то длину сторон МК и МР находим по теореме косинусов из треугольника МДP:
(по условию МД = a/2, а КД = РД = a/4)
PM = √((a²/4)+(a²/16)-2*(a/2)*(a/4)*cos60) =
= √((4a²+a²-2a²)/16 = (a√3) / 4.
Высота h треугольника РМК равна:
h = √((3a²/16) - ((a/4)/2)²) = a√22 / 8.
Искомая площадь равна:
 S(MPK) = (1/2)*(a/4)*(a√22/8) = a²√22 / 64.

∢К=∢М=180-60=120°

MK=12*2=24

S ромба=0,5*d1*d2

Обозначим вторую диагональ(NL) через х:

288√3=0,5*24*x

Х=24√3(NL)

По теореме Пифагора найдём сторону ромба:

(12√3)²+12²=432+144=576

√576=24

Мы знаем что все стороны ромба одинаковые, найдём периметр:

Р=24+24+24+24=96мм

р=96÷2=48мм

∢ МКN=120÷2=60

Значит другой угол равен:

180-(60+90)=30°(∢О)

По теореме сторона лежащий против 30° равен половине гипотенузы:

Гипотенуза ОК=12

12÷2=6(катет)

По теореме Пифагора найдём другой катет(r)

144-36=108

r=√108=6√3

Площадь круга:

S=пr²=108п

ответ:

р=48мм

r=6√3 мм

S=108п

Пусть этот треугольник будет АВС, где АВ и АС это катеты, а ВС - гипотенуза. Так как один угол в прямоугольном треугольнике равен 60, то другой 90-60=30
Значит, что данный треугольник  - это половина равностороннего треугольника ДВС (у которого все стороны и углы равны) и меньший катет АС - это будет половина стороны ВС, так как больший катет АВ является одновременно и высотой и медианой равностороннего треугольника ДВС. Тогда пусть катет АС будет х, тогда гипотенуза ВС будет 2х, а их сумму мы знаем и составляем уравнение:
х+2х=96
3х=96
х=32 см (это длина катета АС)
тогда длина гипотенузы ВС будет 32*2=64 см