На боковых сторонах ab и bc равнобедренного треугольника abc отмечены соответственно точки m и n так, что am: mb=cn: nb. докажите, что amc=cna

Δ AMC = ΔCAN  - по двум сторонам и углу между ними. Так как :
1) АС- общая сторона данных треугольников
2) AM:MB= CN:NB и так как Δ АВС равнобедренный , то АМ=СN
3) угол А= углу С потому , что это углы при основании равнобедренного ΔАВС

 Обозначим меньшую сторону прямоугольника через x, тогда большая сторона 1,5x. По условию площадь прямоугольника равна 24 см², значит
x * 1,5x = 24
1,5x² = 24
x² = 16
x = 4 см - меньшая сторона прямоугольника
1,5 * 4 = 6 см - большая сторона прямоугольника
Площадь квадрата равна 24 cм² . Если сторону квадрата обозначим через a, то   a² = 24   a = √24 = 2√6 см
Чертёж здесь не нужен и вообще непонятно,  для чего было написано про стороны прямоугольника. Сторону квадрата и без этого можно было найти. Может в задаче был ещё один вопрос, чему равны стороны прямоугольника, на всякий случай я вычислила.

Если известны стороны!
Проведем две медианы к боковым сторонам треугольника. 
Так как он равнобедренный, медианы эти равны и отсекают от исходного треугольника два меньших, равных между собой. 
Угол при основании неизвестен, поэтому обозначим его α и его косинус -  cosα
Выразим медиану одного из образовавшихся треугольников по теореме косинусов. 
Чтобы найти косинус угла при основании, применим теорему косинусов к данному в условии задачи треугольнику, стороны которого известны. 
Подставив найденное значение cosα в уравнение медианы, найдем ее длину.