Радиус описанной окружности около основания правильной шестиугольной пирамиды равен .высота пирамиды равна 6. найти площадь полной поверхности и объём пирамиды, если апофема равна

№1. 
Основание правильной четырёхугольной пирамиды - квадрат, боковые грани - равнобедренные треугольники, вершина пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей. 

Обозначим пирамиду МАВСD, МО - высота, МН - апофема ( высота боковой грани). 

Апофема делит сторону основания пополам. ВН=СН. 

Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и при пересечении делятся пополам. 

∆ ВОС в основании - прямоугольный равнобедренный. 

МН⊥ВС. ⇒ по т. о 3-х перпендикулярах ОН ⊥ ВС, ⇒ ОН — высота и медиана ∆ ВОС. По свойству медианы ОН=BH=CH.

ОН=√(МН²-МО²)=√(225-144)=√81=9

BH=OH=9 

MB=√(MH²+BH²)=√(225+81)=√306=3√34

№2

Если боковые ребра пирамиды равны, то равны и их проекции. Тогда проекции боковых ребер равны радиусу описанной около основания окружности. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы ( значит, равен и медиане). 

 Гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см равна 10 см (египетский треугольник). 

Тогда высота  МН ( и медиана ) ∆ АМВ=АВ=10 см. ВН=АН=5 см 

АМ= √(MH²+AH²)=√(100+25)=5√5 см

№3. 

В основании пирамиды равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, угол С=90°, АС=ВС=6 см. Высота пирамиды - третье из смежных ребер=8 см. 

Площадь полной поверхности - сумма площади основания и площадей боковых граней. 

S осн=АС•BC:2=18 см²

Грани АМС=ВМС по равенству катетов. 

S ∆ AMC=S ∆ BMC=6•8:2=24 см²

S AMB=MH•AB:2

AB=AC:sin45°=6√2 

CH высота и медиана ∆ АСВ=АВ:2=3√2

Высота MH большей боковой грани S=√(CH*+MH*)=√(18+64)=√82

S∆AMB=6√2•√82=6√164=12√41

S полн=18+2•24+12√41=(66+12√41) см²

№4

S полн=Sбок+Sосн

Боковые грани этой правильной пирамиды равны. Обозначим её МАВС.

МН- высота и медиана боковой грани. АН=ВН=6 см

∆ АМВ - равнобедренный. Апофема МН=√( АМ²-АН²)=√64=8 см

Sбок=3•МН•АВ:2=144 см²

Sосн=АВ²•√3:4=36√3 см²

Sполн=144+36√3=36(4+√3) см² 

№5

Параллелепипед прямоугольный, следовательно, основание  и боковые грани прямоугольники, а ребра перпендикулярны основанию и являются высотами параллелепипеда.

Обозначим большую сторону основания АВ, меньшую - ВС, высоту АА1. 

 Угол А1ВА=60° (дано)

А1А=АВ•tg60°=5√3 

Площадь основания АВ•BC=5•3=15 Оснований два. S=2•15=30 см²

Площадь боковой пов-сти АА1•2(AB+BC)=5√3•16=80√3 см²

Sполн=(30+80√3) см²

По определению трапеции её основания параллельны: BC||AD .

Рассмотрим треугольники BOC и DOA:

1) Угол BCO равен углу OAD ( как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BC и AD секущей AC )

2) Угол CBO равен углу ODA ( как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BC и AD секущей BD )

Следовательно, треугольники BOC и DOA подобны.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

k (коэф. подобия) равен отношению сходственных сторон подобных треугольников =>

 

Задача 1

1) Дуга ВС = 2 угла ВАС (т.к. угол вписанный)

Дуга ВС = 126°

2) Дуга ВД = дуге ДQ = дуге QC = 126° : 3 = 42°

3) Дуга ВАС = 360° - 126° = 234°

Проведем вписанный угол ВСМ так, чтобы он был равен 90°, тогда дуга

ВАМ будет равна 180°

Проведем вписанный угол ВАМ так, чтобы он был равен 90°, тогда угол САТ

будет равен 90° - 63° = 27°

Дуга СМ равна 2 угла САМ (т.к. он вписанный), тогда дуга СТ = 54°

4) Проведем вписанный угол АДТ так, чтобы он был равен 90°, тогда дуга АТ = 180°

Дуга АС = 180° - 42° - 42° = 96°

Дуга АВ = 234° - 96° = 138°

5) Дуга ВQ = дуга ВАС + дуга QC = 234° + 42° = 276°

Дуга ДС = дуга ВАС + дуга ВД = 234° + 42° = 276°

Дуга АQ = дуга АВ + ВД + ДQ = 138° + 42° + 42° = 222°

Дуга АД = дуга АС + ДQ + QC = 96° + 42° + 42° = 180°

6) Угол ВАС = 63° (по условию)

Угол ДВА = 1/2 дуги АД (т.к. вписанный) = 180° : 2 = 90°

Угол ВДQ = 1/2 дуги ВQ = 276° : 2 = 138°

Угол ДQC = 1/2 дуги ДС = 276° : 2 = 138°

Угол QCA = 1/2 дуги AQ = 222° : 2 = 111°

ответ: Угол ВАС = 63°, угол ДВА = 90°, угол ВДQ = 138°, угол ДQC = 138°, угол QCA = 111°