Как доказать что медианы двух треугольников которые вписаны в произвольный шестиугольник пересекаются в одной точке? пояснение: a1, a2, a3, a4, a5, a6 - вершины произвольного шестиугольника b1, b2, b3, b4, b5, b6 - середины сторон произвольного шестиугольника b1b3b5 и b2b4b6 - треугольники

Ваш первый вопрос:
------------------
Как доказать что медианы двух треугольников которые вписаны в произвольный шестиугольник пересекаются в одной точке?
------------------
и ответ - никак.
Медианы треугольников, построенных на сторонах шестиугольника НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ в одной точке.
Если рассматривать треугольники, просто вписанные в шестиугольник, с рёбрами, не совпадающими с рёбрами шестиугольника, то всё ещё хуже для пересечения медиан.
------------------------------------------------------
Ваш второй вопрос:
Как доказать что медианы двух треугольников, вершины которых совпадают с серединами сторона произвольного шестиугольника пересекаются в одной точке?
------------------
и снова - никак. медианы разных треугольников не пересекаются в одной точке
-----------------------------------------------------
Теперь ваш третий вопрос, на случай, если вам снова захочется изменить условие задачи.
Есть точки вершин шестиугольника A₁..A₆
Есть точки середин рёбер шестиугольника B₁..B₆
На них построены два треугольника. B₁B₃B₅ и B₂B₄B₆
Точки пересечения медиан треугольников P и Q
Доказать, что P = Q
Воспользуемся координатым методом.
Координаты центра пересечения медиан первого треугольника
P = 1/3(B₁+B₃+B₅)
Для второго треугольника
Q = 1/3(B₂+B₄+B₆)
Координаты середин сторон шестиугольника
B₁ = 1/2(A₁+A₂)
B₂ = 1/2(A₂+A₃)
B₃ = 1/2(A₃+A₄)
B₄ = 1/2(A₄+A₅)
B₅ = 1/2(A₅+A₆)
B₆ = 1/2(A₆+A₁)
И координаты P и Q, выраженные через вершины шестиугольника
P = 1/3(1/2(A₁+A₂)+1/2(A₃+A₄)+1/2(A₅+A₆)) = 1/6(A₁+A₂+A₃+A₄+A₅+A₆)
Q = 1/3(1/2(A₂+A₃)+1/2(A₄+A₅)+1/2(A₆+A₁)) = 1/6(A₁+A₂+A₃+A₄+A₅+A₆)
Готово :)
P = Q

Площадь паралеограмма равна произведению его основания на высоту флрмула: S=AD(основание)*BH(высота)

плрщадь треугольника равна половине ппоизведкния его основания на высоту. формула: S= 1/2AB*CH

площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. флрмула: S=1/2(AD+BC)*BH

теорема пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гиотенузы равен сумме квадратов катетов. формула: c(в квадрате)=a(в квадрате)+b(в квадрате)

теорема обратная теореме пифагора: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон,то треугольник прямоугольный

Начнем с самого простого:
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности (свойство). Но можно и так: диагонали правильного шестиугольника разбивают описанную окружность на 6 равных равносторонних треугольника (см. рисунок). Поэтому сторона этого шестиугольника равна радиусу описанной окружности.
Rш=10см.
Диагональ правильного четырехугольника (квадрата) равна диаметру описанной около него окружности (свойство). D=20см.
Тогда его сторона равна Rк= 10√2см.
Сторона правильного треугольника равна  R*√3 (формула). Или в нашем случае 10√3.
Но можно и без формулы: по теореме косинусов.
a² = 2*R²-2R²*Cos120° или a²=200*(1+1/2) = 100*3. a=√300 = 10√3см.
ответ: сторона треугольника равна 10√3см, четырехугольника10√2см и шестиугольника 10см.