20 ! длина средней линии равнобедренной трапеции abcd , описанной около окружности равен 8, 5 см, а острый угол равен 30 градусов.найдите радиус вписанной окружности

Четырехугольник может быть описан около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. 

Трапеция - четырехугольник. Сумма оснований  описанной трапеции равна сумме боковых сторон и вдвое больше средней линии. 

АВ+СD=2•8,5=17 см  Трапеция равнобедренная, поэтому  АВ=СD=8,5

Угол ВАD=∠СDA= 30°, ⇒ высота ВН трапеции равна половине АВ.

ВН=8,5:2=4,25 см

Диаметр окружности,  вписанной в трапецию, перпендикулярен  её основаниям и равен её высоте. 

R=D:2=4,25:2=2,125 см. 

Найдем <B.Из теоремы о сумме углов тр-ка он равен 75 градусам.
По теореме синусов имеем,что CB/sinA=AC/sinB=AB/sinC.
Значит, AC=(CB*sinB)/sinA=(2 корня из 3 * sin 75)/корень из 3/2=(2 корня из 3  *2*sin75)/корень из 3 (далее корень из трех сокращается)=4 sin75,что приблизительно равно 3,8636.
Аналогично рассуждая, получаем,что AB=(CB*sinC)/sinA=4/корень из 2,избавившись от иррациональности в знаменателе,получим,что AB=2 корням из 2.
Для нахождения площади воспользуемся формулой S=1/2 AB*AC*sinA=(2 корня из 2 *3,8636)2*корень из 3/2=(двойки сокращаются)=корень из 2 *3,8636*корень из 3/2.Если очень хочется,то можно сократить 3,8636 и 2, тогда получится 1,9318*корень из 2*корень из 3.
ответ:2 корня из 2;3,8636;1,9318*корень из 2*корень из 3;75 градусов.

Профессорская задачка :)

1. Вс задача. В произвольном треугольнике две прямые, выходящие из разных вершин, делятся в точке пересечения в отношении 2:1 и 1:1. Нужно найти, в каком отношении они делят стороны. На самом деле, для заданной задачи достаточно найти, в каком отношении делится сторона, к которой проведена та прямая, которая длится в отношении 2:1. На первом рисунке - простое решение этой задачи. (Не надо путать обозначения тут и при решении основной задачи).

Задано ВК/KN = 1; AK/KM = 2; надо найти BM/BC. 

Проводится PM II AC, треугольники PKM и AKN подобны, и PK/KN = KM/AK = 1/2; но КN = BN/2, то есть PN = BN/4; тогда и BP = BN/4; а отсюда BM = BC/4; 

2. Собственно решение. Я изменил обозначение точки пересечения медиан трегольника АВС на букву G. O - центр описанной окружности, Н - ортоцентр. Точка Р пересечения биссектрисы угла А и GН делит GН пополам.

Поскольку АР - биссектриса угла А, то её точка пересечения с окружностью N делит дугу ВС пополам, то есть совпадает с точкой пересечения перпендикуляра к ВС из центра О. 

Легко увидеть, что угол DNA между биссектрисой и этим диаметром, обозначенный как α, равен (угол АСВ - угол АВС)/2 (проще всего это понять, если провести через А хорду АА1 II ВС, тогда дуга ВА1 = дуга АС, и угол А1NA = угол А1СА, а DN биссектриса угла A1NA), то есть α = 15°;

Теперь самое главное. Точки O, G и Н лежат на прямой Эйлера, и OG = GH/2; Отсюда следует, что OG = GP = PH; кроме того, точка G делит АК в отношении AG/GK = 2 (ну, это же медиана тр-ка АВС...)

Согласно вс задаче из треугольника AON получается OK = ON/4; то есть расстояние от О до хорды ВС равно четверти радиуса окружности. Отсюда легко найти радиус R описанной окружности. R^2 = 1^2 + (R/4)^2; R = 4/√15; 

Для того, чтобы найти площадь, нужно найти АМ. Центральный угол DOA равен 2α = 30°; и равен углу ОАМ, откуда сразу видно, что АМ = ОК + АО*cos(2α) = R*(1/4 + cos(2α)) = R(1/4 + √3/2);

S = ВС*АМ/2 = (4/√15)*(1 + 2√3)/8 = (1 + 2√3)/(2√15);

Я, конечно, мог и ошибиться в арифметике, так что проверяйте, но смысл решения понятен :)