Решить : ) 1. найдите неизвестные стороны и площадь прямоугольного треугольника авс ( угол с прямой, сн - высота), если известно, что ан - 9 см, вн - 16 см. 2. найдите неизвестные стороны и площадь прямоугольного треугольника авс ( угол с прямой, сн - высота), если известно, что ас - 20 см, ан - 16 см. 3. два равнобедренных треугольника имеют равные угла, противолежащие основаниям, в одном из треугольников боковая сторона равна 5 см, а высота, проведенная к основанию равна 4 см. найдите периметр второго треугольника, если его боковая сторона равна 15 см.

№1,№2 . Решение в приложениях.
№3.
Дано:
ΔАВС - равнобедренный 
АВ=ВС= 5 см - боковые стороны , АС - основание
ВН ⊥ АС , ВН = 4 см
ΔА₁В₁С₁ - равнобедренный
А₁В₁ = 15 см - боковые стороны , А₁С₁ - основание
В₁Н₁⊥А₁С₁
∠АВС = ∠А₁В₁С₁
Найти: Р а₁в₁с₁ - ?
Решение.
I. Рассмотрим равнобедренный   ΔАВС:
1) АВ=ВС=5 см (боковые стороны)
2) ∠А = ∠С  (углы при основании АС)
3) ВН - высота к основанию АС  => ∠АНВ =∠СНВ=90° .
Т. : Высота к основанию равнобедренного треугольника является медианой и биссектрисой. 
ВН - медиана  =>  АН=НС   => AC = AH+HC = 2AH=2HC
BH - биссектриса => ∠АВН=∠СВН 
Следовательно ΔАВН и ΔСВН - прямоугольные и равные треугольники.
4) Рассмотрим  ΔАВН:
 AB=5 см  - гипотенуза;  АН, ВН=4см  - катеты
 Т. Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
АВ²=АН²+ВН²  => AH=√(AB²-BH²)  => AH=√(5²  - 4²) = √(25-16)=√9 = 3 (см)
Из п.3)   АС=2АН  => АC=2*3 = 6 (см)
5) Равс =  АВ+ВС+АС   => Pавс = 5 + 5 + 6  = 16 (см)

II.
1) Т. : Равнобедренные треугольники подобны, если у них углы между боковыми сторонами равны =>  ΔАВС ~ ΔA₁B₁C₁ :
∠АВС = ∠А₁В₁С₁ (по условию) , АВ~A₁B₁ ,  ВС~В₁С₁ , АС ~ A₁C₁
2) Сходственные стороны подобных треугольников пропорциональны и равны коэффициенту подобия: 
А₁В₁/АВ  = В₁С₁/ВС= А₁С₁/АС = k        =>  k = 15/5 = 3  
3) Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия:
Ра₁в₁с₁/Равс = k  =  3     => Pa₁в₁с₁ = 3Равс  => Pa₁в₁с₁ = 3*16 = 48 (см)

ответ: Ра₁в₁с₁ = 48 см.

1. Каждая пара точек А, Е и F лежит в плоскости одной грани. Их можно соединить.
AEF - искомое сечение.

2. Соединим вершины А и D₁, В и C₁.
AD₁C₁B - искомое сечение.
Форма сечения - прямоугольник, так как АВ = C₁D₁ и АВ║C₁D₁, значит это параллелограмм; AD - проекция AD₁ на плоскость основания, AD⊥АВ, значит и AD₁⊥AB по теореме о трех перпендикулярах.

3. СС₁║DD₁ как стороны квадрата, значит СС₁║ADD₁. Секущая плоскость проходит через СС₁ и пересекает плоскость ADD₁, значит линия пересечения плоскостей будет параллельна СС₁.
Проведем КК₁║DD₁ через точку О - точку пересечения диагоналей грани ADD₁A₁.
СС₁К₁К - искомое сечение.

4. АВ║СD как противолежащие стороны прямоугольника, СD⊂DD₁С₁, значит АВ║DD₁С₁.
Сечение проходит через АВ и пересекает DD₁С₁ в точке С₁, значит линия пересечения должна быть параллельна АВ.
C₁D₁║CD, а значит C₁D₁║AB.
ABC₁D₁ - искомое сечение.

Треугольник АВС, АВ=ВС, О-центр окружности, ВО=20, проводим перпендикуляр из точки О на АС=медиане=биссектрисе=радиусу, длина окружности=2*пи*радиус, 24пи=2*пи*радиус, радиус=12, проводим АО и СО - биссектрисы углов А и С соответственно, центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, , т.к ВО тоже биссектриса, АО=ВО=СО=20, треугольникАОС равнобедренный, АН=СН=корень(АО в квадрате-ОН в квадрате)=корень(400-144)=16, АС=2*АН=2*16=32, треугольник АВН, ВН=ВО+ОН=20+12=32, АВ=ВС=корень(АН в квадрате+ВН в квадрате)=корень(256+1024)=16*корень5, периметр=16*корень5+16*корень5+32=32*корень5+32