Один из углов треугольника равен а. найдите угол между биссектрисами внешних углов, проведенных из вершин двух других углов

 Решение во вложенном файле.

Пусть треугольник   ABC : <C =90° ; <B=<C =45° (AC =BC треугольник равнобедренный ) ;
AB =18 см  ;
вписанный прямоугольник   MNEF  ( M∈[AC] , N∈ [BC] , E , F  ∈ [ AB] ) .

a) MF : MN = 2 : 5 .  MF =2x ; MN =5x  ; P =2(MF+MN) =2(2x+5x) =14x.
В  ΔAFM : AF =MF =2x ;
В  ΔBEN  : BE  =NE =MF =2x ;
AF +FE +EB =18 см ;  * * *FE=MN =5x * * *
2x +5x+2x =18⇒ x =2(см) 
P =14x =14*2 см   =28  см. 

б) MF : MN = 5 : 2.  MF =5x ; MN =2x  ; P =2(MF+MN) =2(5x+2x) =14x. 
5x +2x+5x =18⇒12x =18⇔x=1,5 (см) .
P =14x=14*1,5 см = 21 см . 

ответ :  28  см , 21 см .

Дано: ABCD  ромб ; BD =30 ; AC =40 ; AK ⊥ (ABCD) ; AK= 10 .

d( K , CD) = d( K , BC) - ?

Проведем  из вершины A  высоту ромба :  AH  ⊥ CD  (AH = h) и соединим  точка H с точкой K . KH -наклонная  , AH ее проекция на  плоскости  ABCD.
По теореме трех перпендикуляров CD  ⊥  KH ,т.е.  KH есть расстояние от точки   K до  стороны CD .
Из ΔKAH : KH = √(KA² +AH²).

Сторона  ромба равно  a =√ ( (BD/2)² +(AC/2)² ) = (1/2)*√ ( BD² +AC)² = 
 (1/2)*√ ( 30² +40)²  =(1/2)*50=25. 
S(ABCD) =BD*AC/2 = 30*40/2 = 600. C другой стороны  S(ABCD) =a*AH ⇒
600 =25*AH  ⇒AH =24.
Окончательно :
KH = √(KA² +AH²) = √(10²+24)² =√(100+576) =√676=26.

ответ :   26.