30 ! ! в треугольник abc со сторонами ab и ac, равными 4см и 10см, и углом a, равным 30°, вписан имеющий с ним общий угол параллелограмм наибольшей площади. найти площадь параллелограмма.

Параллелограмм образуют параллельные отрезки, максимально возможный вписанный в треугольник параллелограмм будет состоять из двух средних линий то есть длина его сторон буде соответственно равна половине сторон треугольника. площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними то есть 2*5*синус 30

S=8√3см²

Объяснение:

Обозначим вершины ромба АВСД, с диагоналями АС и ВД а высоту АН. Рассмотрим ∆АСД. Высота АН делит СД пополам, поэтому она является ещё медианой, следовательно ∆АСД - равнобедренный, поэтому АД=АС, а так как стороны ромба равны, то

АД=СД=АС=АВ=ВС, значит ∆АСД=∆АВС и они являются равносторонними, у которых каждый угол составляет 60°. Так как диагонали ромба, пересекаясь, образуют прямой угол и делятся пополам, то они также образуют 4 равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них: ∆АВО. В нём: ВО=ДО=4√3÷2=2√3см. Найдём сторону АВ через синус угла. Синус угла - это отношение противолежащего от угла катета к гипотенузе, тогда

Итак: все стороны ромба и диагональ АС=4см. Поскольку нам уже известна меньшая диагональ найдём площадь ромба по формуле:

Можно использовать второй вариант, чтобы найти площадь через высоту АН, проведённую к стороне ромба.

Эта высота АН в ∆АСД равна высоте ВО в ∆АВС=2√3 (так как ∆АВС=∆АСД, и они равносторонние, то их высоты равны).

Тогда S=АД×АН=4×2√3=8√3см²

Пусть ABC - прямоугольный треугольник c гипотенузой AB, катетами BC и АС=18 см. 
Угол CAB = 30 градусов, катет BC противолежащий углу 30 градусов равен половине гипотенузы. AB = 2* BC

По теореме Пифагора:
AB² = AC² + BC²
BC² = AB² - AC²
BC² = (2* BC)² - AC²
BC² = 4* BC² - AC²
3 * BC² = AC²
BC² = AC² / 3
BC² = 18² / 3 = 324 / 3 = 108
BC = √108 = √(6*6*3) = 6√3 (см)
AC = 2 * 6√3 = 12√3 (см)

Угол ABC = 180 - 90 - 30 = 60 градусов Угол ACB - прямой. Биссектриса (BD) делит угол ABC пополам. Угол DBC = 30 град, угол BDC = 60 град  ⇒ треугольники ABC и BDC подобны по трем углам.
У подобных треугольников стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

 BC       AC   
=
 DC      BC

  6√3         12√3
=
  DC          6√3

Свойство пропорции - произведение крайних членов равно произведению средних

6√3  * 6√3 = DC * 12√3
108 = DC * 12√3
DC = 108 / 12√3
DC = 9 / √3 = 9√3 / 3 = 3√3 ≈5,2 (см)

AD = AC - DC
AD = 18 - 3√3 ≈ 18 - 5,2 ≈ 12,8 (см)

Биссектриса острого угла треугольника делит бОльший катет на отрезки 12,8 см и 5,2 см