Все ребра правильной четырёхугольной пирамиды sabcd равны. точка e - середина sc. вычислите градусную меру угла между прямыми de и sb. ответ должен получиться arccos (√3/6

Прямые DE и SB не пересекаются, не параллельны и не лежат в одной плоскости. Они скрещивающиеся. 

Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми,  нужно: 

Провести прямую, параллельную одной из двух скрещивающихся прямых так, чтобы она пересекала вторую прямую. При этом получатся пересекающиеся прямые. Угол между ними равен углу  между исходными скрещивающимися. 

CE=SE по условию; ЕМ ║ SB и является средней линией ∆ SCB.

Искомый угол – ∠DEM.

 Так как все ребра пирамиды равны,  её боковые грани - правильные треугольники. Примем длину ребер равной 1.

Тогда ЕМ=CM=1/2. 

DE=DC•sin60°=√3/2

Из прямоугольного ∆DEM по т.Пифагора найдём DM²

DM²=CM²+DC²=(1/2)²+(√3/2)²=5/4

По т.косинусов 

DM²=EM²+DE²-2•EM•DE•cos(DEM)

cosDEM=(DM²-(DE²+EM²)²(-2•DE•EM)

cosDEM=[5/4 - {1/2)²+(√3/2)²}:(-2•(1/2)•√3/2)= - (1/4) •2/√3=-1/2√3

Умножив числитель и знаменатель этой дроби на √3, получим:

ответ arccos=-√3/6

cos∠DEM= -0.2886751345948128812  По калькулятору это ≈ 106°47’43’’

2. В параллелограмм вписана окружность.
Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см.   
Решение. Пусть стороны параллелограмма равны а и b см. Тогда а+a=b+b (теорема В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны). Отсюда следует,что а=b, то есть параллелограмм является ромбом, поэтому сторона ромба равна 36/4=9см. 
3. Найдите площадь четырехугольника АВСЕ, если его периметр равен 60 см, а радиус вписанной окружности равен 5 см.   
Решение. Соединим центр вписанной окружности с вершинами четырехугольника. Получим 4 треугольника. Проведем радиусы в точки касания Н,K,L и M. Отрезки ОН, OK, OL и OM будут перпендикулярны к сторонам АВ, ВС, CD и AD (радиус к касательной). Тогда площадь четырехугольника АВСЕ=площади треульника АВО+площади треугольника ВСО+CDO+DAO=1/2АВ*OH+1/2ВС*OK+1/2CD*OL+1/2AD*OM= 1/2*r*(АВ+ВС+CD+AD)=1/2r*периметр АВСЕ=1/2*5*60=150 см^2.  

2. В параллелограмм вписана окружность.
Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см.   
Решение. Пусть стороны параллелограмма равны а и b см. Тогда а+a=b+b (теорема В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны). Отсюда следует,что а=b, то есть параллелограмм является ромбом, поэтому сторона ромба равна 36/4=9см. 
3. Найдите площадь четырехугольника АВСЕ, если его периметр равен 60 см, а радиус вписанной окружности равен 5 см.   
Решение. Соединим центр вписанной окружности с вершинами четырехугольника. Получим 4 треугольника. Проведем радиусы в точки касания Н,K,L и M. Отрезки ОН, OK, OL и OM будут перпендикулярны к сторонам АВ, ВС, CD и AD (радиус к касательной). Тогда площадь четырехугольника АВСЕ=площади треульника АВО+площади треугольника ВСО+CDO+DAO=1/2АВ*OH+1/2ВС*OK+1/2CD*OL+1/2AD*OM= 1/2*r*(АВ+ВС+CD+AD)=1/2r*периметр АВСЕ=1/2*5*60=150 см^2.