Найдите площадь круга, длина окружности которого равно 6пи см

S=πR^2

C=2πR
2πR=6π
R=3

S=π×3^2=9π

ответ: 9π

Ну, можно посчитать.

Каждый внешний угол равен 180 градусов минус внутренний при той же вершине. Поэтому нужная сумма равна 180*n минус сумма внутренних углов n-угольника, то есть 180*(n-2). Отсюда можно получить ответ для любого выпуклого многоугольника, не только для правильного. Это 360 градусов.

 

А вот другое решение для правильного многоугольника (а точнее, для любого,вписанного в окружность оно тоже подходит). Оно понять, почему получился такой ответ. Поскольку n-угольник правильный, то у него есть центр. Из него можно провести два перпендикуляра к сторонам любого внутреннего угла. Легко видеть, что угол между этими перпендикулярами (с вершиной в центре) равен внешнему углу при этой вершине - у них стороны попарно перпендикулярны (ну, или сумма с внутренним при этой вершине у обоих 180 градусов). Вот поэтому, если сложить все внешние углы (как задано в задаче, по одному от вершины), то это равно полному углу. 

 

Прибавим к каждому из этих внешних углов смежный с ним внутренний угол. При каждой вершине получится угол в 180°, следовательно, общая полученная сумма равна 180n градусов.
Далее, существует теорема, что сумма внутренних углов любого выпуклого (насчет невыпуклых - не знаю. Вполне возможно, что тоже верно) многоугольника равна 180(n-2), это доказывается при разбиения многоугольника на n треугольников с общей вершиной A внутри многоугольника, сложения углов всех треугольников(180*n) и вычитания полного оборота при A. По чертежу очевидно, что оставшиеся углы, взятые по парам, составляют все внутренние углы многоугольника.

Таким образом, искомая сумма внешних углов равна разности полученной суммы и добавленных углов, или 180n - 180*(n-2)=360°
ответ: 360.