Могут ли стороны треугольника относиться как 3: 4: 7

Уточним, что окружность не может быть внутри угла АСО, так как О - ее центр, а центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла, в который она вписана. Биссектриса же проходит строго посередине угла.
Будем находить угол АСD и угол АСО- его половину.

Смотрим рисунок.
С - точка вне окружности.

Из нее к окружности идут две касательные СА и СD. Расстояния от С до точек касания с окружностью равны.

Соединим точки касания с центром О. Отрезки АО и DО - перпендикуляры.

Поэтому
∠ САО+∠СDO=180º.

Сумма углов четырехугольника равна 360º.
∠АСD+∠AOD=180º.

Центральный ∠АOD опирается на дугу АD и равен 140º.

∠АСD=180º-140º=40º.

Его половина ∠АСО=40:2=20º

Уточним, что окружность не может быть внутри угла АСО, так как О - ее центр, а центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла, в который она вписана. Биссектриса же проходит строго посередине угла.
Будем находить угол АСD и угол АСО- его половину.

Смотрим рисунок.
С - точка вне окружности.

Из нее к окружности идут две касательные СА и СD. Расстояния от С до точек касания с окружностью равны.

Соединим точки касания с центром О. Отрезки АО и DО - перпендикуляры.

Поэтому
∠ САО+∠СDO=180º.

Сумма углов четырехугольника равна 360º.
∠АСD+∠AOD=180º.

Центральный ∠АOD опирается на дугу АD и равен 140º.

∠АСD=180º-140º=40º.

Его половина ∠АСО=40:2=20º