Якшо в рівнобедреному трикутнику зовнішній кут при основі дорівнює 120° то цей трикутриник рівносторонній.доведіть

Сумма внешнего и внутреннего угла равна 180°.
Если внешний угол 120 градусов, то внутренний угол при основании
180 - 120 = 60° 
Сумма углов треугольника равна 180°, и поэтому угол при вершине равнобедренного треугольника составит
180 - 60*2 = 180 - 120 = 60°
Все три внутренних угла треугольника равны 60°Ю и перед нами равносторонний треугольник.

сделаем построение по условию

на рисунке осевое сечение шара и конуса (вертикальный разрез через вершину конуса)

r -радиус вписанной окружности, он же радиус шара вписанного в конус

r=3√2-3

треугольник АВС –равнобедренный, прямоугольный   <ABC=90 град

<A=<C=45 град

BC1 - высота,биссектриса,медиана

<B1BO=<ABC1=90/2=45

OB1=r -перпендикуляр в точке касания

OС1=r -перпендикуляр в точке касания

треугольник B1BO –равнобедренный, прямоугольный   < BB1O =90 град

BO=B1O / sin<B1BO =r / sin45 =(3√2-3) / 1/√2 =6-3√2

BC1=BO+OC1=6-3√2 +r =6-3√2 +3√2-3=3    - это высота пирамиды

треугольник ABC1 –равнобедренный, прямоугольный   <AC1B =90 град

<A=<ABC1=45 град

AC1=BC1=3

AC1– это радиус основания

Площадь основания So= pi*AC1^2 = pi*3^2=9pi

Объем конуса  V=1/3 *BC1 *So=1/3 *3 *9pi = 9pi =9п

По формуле объема пирамиды: V = (1/3)*S*h,
где S это площадь основания пирамиды,
h это высота пирамиды.
h = 2*(√3).
Пирамида правильная, значит
1) в основании ее лежит правильный многоугольник, в данном случае (т.к. пирамида треугольная) правильный треугольник.
2) Вершина пирамиды проецируется в центр основания, то есть если из вершины пирамиды опустить высоту к основанию пирамиды, то точкой пересечения этой высоты с основанием будет центр основания=центр описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника, который лежит в основании пирамиды.
Далее я на листочке написал, который прикрепил ниже.
ответ. 216.