Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 60°. найдите объём пирамиды.

Правильная треугольная пирамида SABC
Двугранный угол ∠AKS = 60°
Апофема SK = 4 см

Высота SO правильной пирамиды опускается в центр окружности, вписанной в равносторонний ΔABC  ⇒  r = ОК
ΔSOK прямоугольный : ∠SOK = 90°
r = OK = SK*cos 60° = 4*1/2 = 2 см
h = SO = SK*sin 60° = 4*√3/2 = 2√3 см
Если в равносторонний ΔABC вписана окружность с радиусом r=2 см, то сторона треугольника 
a = CB = 2√3 r = 2√3 * 2 = 4√3 см
Площадь равностороннего треугольника
S = a²√3/4 = (4√3)²*√3/4 = 48*√3/4 = 12√3 см²

Объем пирамиды 
V = 1/3 S h = 1/3*12√3 *2√3 = 24 см³

Положим что прямая параллельная AC и проходящая через M , пересекает AB и AC в точках N и Y соотвественно , аналогично Z и X точки на BC и AC соотвественно , так же L , W на AC и BC .
Так как прямые па аралелльны , то четырёхугольники LMXA , MNBZ , MWCY параллелограммы .
Значит AL=XM , MY=WC , MX=BN .
Полученные три треугольника подобны между собой , получаем
(LN/MX)^2 = (27/12)
(ZW/MY)^2 = (3/12)
(MZ/LN)^2 = (3/27)

LN/MX=3/2
ZW/MY=1/2
MZ/LN=1/3

Откуда LN+AL = LN+MX = 5MX/2
Из подобия треугольников NML и ANY получаем
(LN/(LN+AL))^2 = 27/(27+S(ALMX) + 12)
Или 9/25 = 27/(39+S(ALMX))
Откуда S(ALMX) = 36
Аналогично и с двумя другими S(MNBZ)=18 , S(MYCW) = 12
Значит
S(ABC) = 27+12+3+36+18+12 = 108

Площадь боковой грани призмы: 144:3=48 (три равных боковых грани).
Значит сторона основания призмы и высота призмы равна √48= 4√3.
Многогранник, вершинами которого служат центры всех граней призмы - это две равные правильные пирамиды. Высота одной такой пирамиды  равна половине высоты призмы (2√3), а   основание - правильный треугольник со сторонами, равными средним линиям треугольника - основания призмы - 2√3.
So=(√3/4)*a² или So=3√3.
Vпирамиды=(1/3)So*h=(1/3)3√3*2√3=6.
Тогда объем искомого многогранника равен 2*Vпирамиды или
V=2*6=12.
ответ: V=12.