Биссектриса острого угла cda трапеции abcd пересекает сторону ав в точке к. из точки к проведен перпендикуляр ке к стороне cd так, что се = 9 см, de = 16 см. найдите ке и стороны трапеции, если а = 90, к – середина ав.

Углы трапеции, прилежащие к боковой стороне, в сумме составляют 180°точка К лежит на биссектрисе угла, следовательно она равноудалена от сторон угла КА=КЕтреугольники DEK и DAK равны (по гипотенузе и острому углу)))DA = 16аналогично СВ=9если провести высоту трапеции, то можно найти вторую боковую сторону (по т.Пифагора)))ЕК=12

Благодаря параллельности прямых, все образовавшиеся треугольники подобны друг другу и исходному ΔАВС (по трём углам).
Обозначим стороны получившихся треугольников, параллельные стороне АС как a, b и с, их площади как S₁, S₂ и S₃ (см. рис. в прикреплённом файле).
Площадь S ΔАВС относится к площади S₁ подобного треугольника, как квадрат отношения соответствующих сторон:
=  =        (1)
Отношение соответствующих сторон подобных треугольников равно корню квадратному из отношений их площадей:
=        (2)
=        (3)
Подставляем (2) и (3) в (1):
= = 
Откуда окончательно получаем:
S =  

Назовем треугольники W1, W2, W3.
а параллелограммы на вертикальных углах I, II,  III соответственно.
пусть при вершине М - углы в W1 и I = альфа; W2 и II = бета; W3 и III = гамма

Пусть вершины треугольника W1 буду MEF, W2 MGH, W3 MPQ
Заметим, что треугольники W1, W2, W3 подобны, тк все три угла у них равны

Запишем площади W1, W2, W3, I,II,III
S1 =
S2 =
S3 =

I =
II =
III=

Запишем отношения

I/S1 =
Аналогично
II/S2 =
III/S3 =

то есть: I = S1*
II = S2*
III = S3*

S(ABC) = S1+S2+S3+I+II+III  обозначим это равенство (!)

Из подобия треугольников W1, W2, W3 получаем:










А теперь если подставить все это счастье в равенство (!), получим

S(ABC) =

то есть