Меня интересует формула объёма шарового слоя, с графическим и аналитическим доказательством.

Я бы просто взяла интеграл, но для понимания нужно проследить некоторые детали. Да, здесь нужно понимать, откуда берется шар. Это вращение какой то функции заданной на плоскости вокруг оси y или x, это неважно, из-за сферической симметрии фигуры. Такая функция - это криволинейная трапеция y=sqrt(R^2 - x^2). Далее остается только проинтегрировать. Я напишу на листке, а то здесь сложно писать длинные формулы. 
Аналогично для шарового слоя. Единственная разница - пределы интегрирования функции. (Здесь я решила вращать вокруг оси OX)

Латиница заменена русскими

Трапеция АВСД, проводим биссектрису угла В до пересечения с со стороной АД - точка Р, угол АРВ=углуРВС как внутренние разносторонние = углу АВР, треугольник АВР равнобедренный АВ=АР=13, АФ - биссектриса угла А = медиане, высоте , точка Ф середина ВР, проводим линию ФК параллельно АР до пересечения с АВ , ФК стредняя линия треугольника АВЗ = АР/2=13/2=6,5,

продлеваем биссектрису углаС до пресечения со стороной АД - точка Т, угол СТД=углуТСВ как внутренние разносторонние =углуТСД, треугольник ТСД равнобедренный, ТД=СД=15,

ДГ биссектриса угла Д = медиане, высоте, точка Г лежит на середине ТС, проводим ГМ параллельноТД до пересечения с СД, ГМ=средняя линия треугольника ТСД = 1/2ТД =15/2=7,5, Линия КМ-средняя линия трапеции = 1/2(ВС+АД)=1/2(16+30) =23

ФГ= КМ-КФ-ГМ=23-6,5-7,5=9

я тут уже решал подобную задачу столько раз, что не помню, когда был первый. Я просто переношу решение оттуда: 

 

Точки пересечения биссектрис - это центры окружностей, касающихся левой (или правой) стороны и обеих оснований. Поэтому отрезок, соединяющий эти центры - ЧАСТЬ СРЕДНЕЙ ЛИНИИ :))). Далее, если бы эти центры совпадали, то длина средней линии была бы равна ПОЛУСУММЕ БОКОВЫХ СТОРОН, то есть 14. (в этом случае трапеция была бы "ОПИСАНА ВОКРУГ ОКРУЖНОСТИ", а у таких 4угольников суммы противоположных сторон равны). Поэтому ответ (30 + 16)/2 - 14 = 9 :)))

 

(Именно на это расстояние как бы раздвинуты вписаные окружности - пояснение такое :))). 

 

Еще вариант решения, по сути - такой же

 Обе точки пересечения биссектрис лежат на одинаковом расстоянии от оснований, это - центры окружностей, касающихся оснований. Одна касается левого ребра 13, другая - правого 15. Если точки касаний делят верхнее основание на отрезки x, у, z, то сразу ясно, что z - искомое расстояние. И есть 2 соотношения.

 

z+x+y = 16;

z+(13 - x)+(15 - y) = 30;

 

Складываем и делим на 2.

 

z = 9

 

Еще вариант решения - проводим специальную касательную к ЛЕВОЙ ОКРУЖНОСТИ (то есть - с центром в точке F), параллельную СD. Легко видеть, что окружность с центром в F вписана в трапецию с основаниями (16 - z) и (30 - z), где z - ИСКОМОЕ РАССТОЯНИЕ между центрами. Далее - см. начало :)))