Длина отрезка ck равна 10 см. отрезок ab равен отрезку ck. длина отрезка mp в 2раза больше длинф отрезка ab. найдит нотрезок mp

АВ = СК = 10 см; МР = 2 * АВ = 2 * 10 = 20 (см).

Очевидно, что указанный отрезок является медианой данного треугольника. А медиана разделит равнобедренный треугольник на два абсолютно равных.
Периметр полученных треугольников одинаков. Но для подсчета периметра исходного треугольника нужно исключить медиану из расчетов, так как она не будет входит в его периметр (но она входит в периметры маленьких треугольников и мы ее будем исключать из расчетов).
Получаем, что периметр каждого маленького треугольника без медианы равен 30 - 5 = 25 см.
А потому периметр исходного треугольника равен 25*2 = 50 см.
(Начертите рисунок и увидите нагляднее!)

Если достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника так, чтобы гипотенуза была его диагональю (то есть присоединим к треугольнику второй такой же точно), то площадь такого прямоугольника будет ровно в 2 раза больше площади треугольника, то есть 2 * 512 * корень(3) = 1024*корень(3).

А также площадь прямоугольника равна произведению катетов. Обозначим меньший катет буквой х, тогда больший будет х*tg(x) = x*корень(3).

Итого, имеем площадь прямоугольника х*х*корень(3) = 1024*корень(3).

Корень(3) сокращаем, остаётся х*х = 1024.
Отсюда х = корень(1024) =  32.

Такой получился ответ - меньший катет = 32.