Около четырёхугольника bkpc описана окружность. продолжения противоположных сторон bk и cp этого четырёхугольника пересекаются в точке a, лежащей вне окружности. k лежит между a и b, а p — между a и c. найдите длину стороны kp, если ap=8 и ab больше bc в 5/4 раза.

Так как около четырёхугольника ABCD можно описать окружность, то суммы противолежащих углов равны 180 °.
∠ СBA= α , тогда ∠ СDA= 180 ° – α .

Сумма смежных углов равна 180 °.
∠ CDA + ∠CDK = 180 ° 
∠ CDK= α 

∠ CKD – общий для двух треугольников.
Треугольники КАВ и КСD подобны по двум углам.

я не очень шарю в этом из 5 % я шарю 3%.

АВСД - прямоугольник. О - пересечение диагоналей ОК срединный перпендикуляр к диагонали ВД. Тогда по условию: КС = СД.

То есть тр. ДКС - прям, равноб. Значит его острые углы - по 45 гр.

СДК = 45 гр = ДКС

Угол ДКС - внешний для равнобедр. тр-ка ВКД (КД = ВК - по св-ву срединного перпенд)Значит: 2*КДВ = 45 гр.

Или угол КДВ = 22,5 гр.

Тогда угол СДО в тр. СОД равен:

СДО = 45 + 22,5 = 67,5 гр и равен ОСД (т.к тр.СОД - равнобедр)

В итоге находим искомый угол СОД = 180 - (67,5 + 67,5) = 45 гр.

ответ: 45 гр(острый)  или 135 гр (тупой)

Если диагонали трапеции являются биссектрисами, то точка пересечения диагоналей - центр вписанной окружности. А если в 4-ник можно вписать окружность, то у него суммы длин противоположных сторон равны.

АВСД - равноб. трапеция. АВ = СД = с. Основание ВС = b = 3. Основание АД = а. Тогда имеем систему:

2с = а + 3,

2с + а + 3 = 42,   а = 18, с = 10,5

Для нахождения площади необходимо знать высоту.

Проведем высоты ВК и СМ (обозначим h). Тогда из равенства тр-ов АВК и СМД получим: АК = МД = (a-b)/2 = 7,5

Из пр.тр. АВК найдем высоту по теореме Пифагора:

h = кор( 10,5^2  -  7,5^2) = кор54 = 3кор6

Тогда площадь трапеции:

S = (a+b)*h /2 = (63кор6)/2   см^2.