Знайти площу основи конуса, якщо радіус його перерізу площиною, що проходить через середину висоти конуса паралельно його основі, дорівнює 3 см.

Фото.фото.фото.фото.фото

1. Координаты середины отрезка - полусумма координат начала и конца.
Значит С((2-2)/2;(2+2)/2) или С(0;2). ответ г).
3. Координаты вектора - разность координат конца и начала этого вектора.
АВ{-2-2;7-7} или AB{-4;0}.
4. Длина вектора а{6;-8} равна его модулю: |a|=√(6²+(-8)²)=10.
5. Чтобы проверить, лежит ли точка на окружности, надо подставить координаты точки в уравнение окружности:
(-5+5)²+(-3-1)²=16 или 0+16=16. ответ: а) да, лежит.
6. Длина радиуса этой окружности - модуль вектора М0.
|M0|=√(0-(-3))²+(0-4)²)=√(9+16)=5. ответ в)

1) определение перпендикуляра и наклонной.

пусть дана плоскость и не лежащая на ней точка.

тогда:

·   отрезок прямой, перпендикулярной плоскости, соединяющий данную точку с точкой на плоскости называется перпендикуляром из данной точки к данной плоскости.

·   конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

·   любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой на плоскости и не являющийся перпендикуляром к плоскости, называется наклонной.

·   конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

рис. 1.

на рисунке из точки а проведены к плоскости α перпендикуляр ав и наклонная ас. точка в - основание перпендикуляра, точка с - основание наклонной, вс - проекция наклонной ас на плоскость α.

2) доказательство того, что перпендикуляр корочек наклонной

 

на рисунке 2 изображена плоскость α, перпендикуляр к ней ao, наклонная ab, а также показан отрезок bo, соединяющий основания наклонной и перпендикуляра. отрезки ao, bo и ab образуют δaob.

рис. 2.

рассмотрим δaob, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. перпендикуляр ao является катетом этого треугольника, а наклонная ab – его гипотенузой. катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы (по теореме пифагора), следовательно, перпендикуляр всегда короче наклонной.

3) определение проекции

отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

 

отрезок bo на рисунке 2 – является проекцией наклонной ab.

4) теорема о сравнительной длине наклонных и их проекций

а) любая наклонная больше своей проекции.

доказательство:

вновь рассмотрим δaob, изображенный на рис. 2, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. проекция bo является катетом этого треугольника, а наклонная ab – его гипотенузой, т. к. катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы, следовательно, проекция наклонной на плоскость всегда короче самой наклонной.

б) равные наклонные имеют равные проекции

доказательство: рассмотрим треугольники aob и aod, они равны, т. к. равны их гипотенузы ab и ad, и углы aob и aod (они прямые), а сторона ao у них общая. из равенства треугольников следует и равенство их сторон bo = od, что и требовалось доказать.

 

в) если проекции наклонных равны, то и наклонные равны. доказывается аналогично утверждению б.

г) большей наклонной соответствует большая проекция.

доказательство:

рассмотрим прямоугольные треугольники aob и aod, ab > ad.

=  

=  

но так как ab > ad => ab2 > ad2 => >   =>

=> bo > do. что и требовалось доказать.

 

д) из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. доказывается аналогично г.