Вкруг вписан квадрат со стороной 9√2 см, найти сторону правильно треугольника, описанного вокруг этого круга

Ищем диаметр окружности.

Радиус, следовательно, 9.

Радиус окружности вписанной в правильный треугольник находится по формуле 
Итого:

1. Рассмотрим квадрат ABCD.
    Диагональ квадрата равна радиусу окружности. Следовательно, 
    диагональ квадрата вычисляется по формуле:
    c = a · √2, ⇒
    9√2 · √2 = 18.
    Найдём радиус окружности: r = 18 ÷ 2 = 9

2. Рассмотрим ΔDEF
    ΔDEF - правильный (по усл.) и описан около окружности, ⇒
    его сторона вычисляется по формуле:
    a = r · 2√3, ⇒
    9 · 2√3 = 18√3

ответ: 18√3

1)так как одна из сторон треугольника - диаметр описанной окружности, то этот треугольник прямоугольный.меньвая высота в нем проведена к гипотенузе. её квадрат равен произведпению отрезков, на которые делит основание высоты гипотенузу, т.е. 16·9=144, а высота тогда равна 12. меньшую сторону находим из прямоугольного  треугольника, стороны которого равны 12 и 9. она является в треугольнике гипотенузой, и поэтому её квадрат равен  144+81=225, а сторона равна 15 . это ответ - 15.
2) сторона ромба равна меньшей диагонали, значит, углы в этом ромбе:60, 120,60 и 120градусов. треугольникАВС, образованный меньшей диагональю и сторонами ромба, равносторонний. его площадь равна 0,5·4·4·√3:2=4√3, площадь  треугольника АОВ=0,5 площади АВС, т.е. 2√3. С другой стороны,  площадь  треугольника АОВ=0,5·4· r.=2r.  Тогда r=√3, а площадь вписаннонго круга = π· r² =3π

Пусть углы при осн.равны-х ,тогда тупой угол равен 4х ,медиана в равноб.треуг так же явл высотой и биссектрисой ,получается ,что треуг (который получается при делении большего высотой ,т.есть любой из них, они оба равны ) прямоуг. высота перпен.осн. значит  один из углов равен 90град. следовательно на остальные 2 так же приходится 90 град .значит х+2х =90 ,тогда х=30 гдад. теперь по свойству .катеп (т.есть (медиана =а) лежащий против угла в 30 град равен половине гипотинузы (боковой стороны треуг ) значит боковая сторона=2а