Средняя длина равнобедренного треугольника, параллельная его основанию, равна 6 см, а средняя линяя, параллельна боковой стороне, равна 5 см. найти площадь треугольника

S = 1/2 * AC * BK

1) MK = 1/2 *BC, т.к. это средняя линия
=> BC = 2*MK = 2*5 = 10 (см)

MN = 1/2 * AC, т.к. это средняя линия
=> AC = 2*MN = 2*6 = 12 (см)

2) Найдем BK.
BK является и высотой, и медианой, т.к. треугольник АBC равнобедренный (по условию).
Т.е. угол BKC = 90 и CK = 1/2 * AC = 1/2 * 12 = 6 (см)
По теореме Пифагора:
BK^2 + KC^2 = BC^2
BK^2 = BC^2 - KC^2
BK^2 = 100 - 36 = 64
BK = 8 (см)

3) S = 1/2 * 12 * 8 = 48 (см^2)

ответ: 48 см^2.

Средняя линия треугольника соединяет середины сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. Знаем средние линии, следовательно знаем стороны. Основание равно 6*2=12, боковые стороны равны 5*2=10.

Опустим высоту на основание. Высота будет являться медианой и разделит основание пополам, а равнобедренный треугольник - на два прямоугольных. Прямоугольный треугольник c катетом 6 и гипотенузой 10 - египетский (3:4:5), множитель 2, высота равна 4*2=8.

S=12*8/2=48.

ИЛИ

Основание b=12, боковые стороны a=10.

По формуле Герона

S= b/2 *√((a+b/2)(a-b/2)) =6√(16*4) =6*8 =48

Рассмотрим ΔАВD. Он - прямоугольный, так как ВD⊥АВ⇒∠DВА=90°. Найдем ∠АDВ по теореме о сумме ∠Δ:
∠АDВ=180°-60°-90°=30°
Рассмотрим ∠ВDА и ∠DВС, учитывая, что ВС∫∫АD(по определению трапеции): эти углы накрест лежащие при парал. прям. и сек. ⇒ они равны(по св-ву парал. прям) ⇒ ∠АDВ=∠СВD=30°.
При этом, ВD - так же биссектриса ∠D⇒∠АDВ=∠ВDС=30° ⇒ ∠D=60°
⇒ АВСD - равнобедренная трапеция(по признаку)
Найдем ∠DСВ. Рассмотрим ΔВСD: ∠В=∠D=30 ⇒ найдем ∠С по теореме о сумме ∠Δ: 180°-60°=120°
∠DCВ=∠АВС(по опр. равноб. трап.) ⇒ АВС=120°
ответ: 60°, 60°, 120°, 120°

Если провести диаметр OY (это я его так обозначил, чтобы как-то потом называть), параллельно CD и перпендикулярно (само собой) AB, то он пройдет через середину AB, то есть точки A и B симметричны относительно OY;
Теперь надо построить хорду C1D1, симметричную CD относительно OY; ясно, что она параллельна CD и перпендикулярна AB, ясно, что C1D1 = CD; и вообще - CDD1C1 это прямоугольник. Что означает, что CD1 - диаметр.
Поскольку при зеркальном отражении относительно OY точка A переходит в B, а точка D - в точку D1, то BD = AD1; (по определению равенства фигур, между прочим).
Остается заметить, что, раз CD1 - диаметр, то треугольник ACD1 - прямоугольный, и записать для него теорему Пифагора.