Вединичном кубе abcda1b1c1d1 найдите расстояние от середины ребра cc1 до плоскости ab1c (ответ: √3/6)

Пусть А - начало координат

Ось X - AB

Ось Y - AD

Ось Z - AA1

Координаты точки M - Середины СС1

M(1;1;1/2)

координаты точек

B1(1;0;1)

C(1;1;0)

Уравнение плоскости AB1C (проходит через начало координат)

ax+by+cz=0

Подставляем координаты точек плоскости

а+с=0

а+b=0

Пусть с= -1 Тогда а=1 b= -1

Искомое уравнение

x-y-z=0

нормализованное уравнение плоскости

k= √(1+1+1) = √3

x/√3-y/√3-z/√3=0

подставляем координаты M в нормализованное уравнение чтобы найти искомое расстояние

| 1/√3-1/√3-1/(2√3) | = √3/6

Неравенство треугольника:

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном (три вершины лежат на одной прямой)— равна.

а )7,2 и 9.
7+2=9 Это вырожденный треугольник
 
б ) 5,8 и 6
 5+8>6
8+6>5   Этот треугольник существует
5+6>8

в ) 16,12 и 12
16+12>12
12+12>16
Этот треугольник существует, он равнобедренный

г ) 5,7 и 12

5+7=12 Вырожденный треугольник
 
д ) 7,10 и 5
7+10>5
7+5>10
10+5>7
Треугольник существует

е ) 7,14 и 10
7+14>10
14+10>7
7+10>14
Такой треугольник существует
 
ё )7.29 и 12
7+12< 29
Такого треугольника не существует

ж ) 11.11 и 19
11+11>19
11+19>11
Это равнобедренный треугольник и он существует

Трапеция АВСД.
АД нижнее основание;
ВС верхнее основание трапеции;
АС=11; ВД=13; 
m=10 средняя линия;
Сделаем дополнительное построение. 
Из вершины С проведем отрезок СМ параллельно ВД, 
до пересечения с продолжением стороны АД. 
Четырехугольник ВСМД - параллелограмм, так как  
ВС параллельна ДМ и ВД параллельна СМ по построению. 
Значит, СМ=ВД=13; ВС=ДМ;
Из вершины С опустим перпендикуляр СК на АД. 
СК -это высота трапеции АВСД и треугольника АСМ. 
Площадь треугольника АСМ равна 
S(АСМ)=СК*АМ/2; 
АМ=АД+ДМ=АД+ВС; 
m=(АД+ВС):2; 
АД+ВС=2*m=2*10=20; 
АМ=АД+ВС=20; 
S(АСМ)=СК*20/2=10*СК;
Площадь трапеции АВСД равна 
S(АВСД)=СК*m=10*CК; 
Значит, S(АВСД)=S(АСМ);
В треугольнике АСМ АС=11; СМ=13; АМ=20;
Площадь найдем по формуле Герона: 
полу периметр р=(11+13+20):2=22; 
S²=22*(22-11)*(22-13)*(22-20)=22*11*9*2;
S=√2*11*11*9*2=2*3*11=66; 
ответ: 66