Найти длину окружности, если сторона вписанного правильного треугольника равна 3√3

Известно, что если сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна a, то радиус окружности равен a/√3. Таким образом, R=5√3/√3=5. Площадь круга равна π*R² и равна 25π, а длина окружности равна 2πR и равна 10π.

В задании не указано, каким методом решить это задание - а их 2.

1) геометрический,

2) векторный.

1) Находим длины сторон.

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √41 ≈ 6,40312.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √18 ≈ 4,24264.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √5  ≈ 2,236068.

Далее применяем теорему косинусов и находим углы треугольника.

cos A= АВ²+АС²-ВС² = 0,977802414  

       2*АВ*АС    

  A = 0,211093333 радиан

  A = 12,09475708 градусов

     

cos В= АВ²+ВС²-АС² = 0,993883735  

         2*АВ*ВС    

  B = 0,110657221 радиан

                       B = 6,340191746 градусов

   

cos C= АC²+ВС²-АВ² = -0,948683298  

        2*АC*ВС    

  C = 2,819842099 радиан

  C = 161,5650512 градусов.

2) Находим векторы АВ и АС:

АВ = (-4; 5), модуль примем с варианта 1: |AB| = √41.

АС = (-1; 2), |AC| = √5.

cos A = (-4*-1 + 5*2)/(√41*√5) = 14/√205 ≈ 0,977802414.

Вектор ВА = (4; -5), |BA| = √41,

            BC = (3; -3), |BC| = 3√2.

cos B = (4*3 + -5*-3)/(√41*3√2) = 27/(3√82) 9/√82 ≈ 0,993883735.

Вектор СА = (1; -2), |CA| = √5,

            CB = (-3; 3), |CB| = 3√2.

cos C = (1*-3 + -2*3)/(√5*3√2) = -9/(3√10) = -3/√10 ≈ -0,948683298.

Углы соответствуют найденным в пункте 1.

3) Поставьте на конце диаметра ВО точку Д. Диаметр ВД делит окружность на две равные дуги: ∪ВАД = ∪ВСД = 180°.

Равные хорды окружности отделяют равные дуги ⇒ ∪ВА=∪ВС,

тогда ∪АД=180°-∪ВА, ∪СД=180°-∪ВС=180°-∪ВА , получили, что

∪АД=∪СД. Но на эти равные дуги опираются вписанные углы

∠1  и ∠2    ⇒∠1 =∠2 . Ч.т.д.

6) Соединим точки О и А, а также О и В.

 ΔОАК=ΔОВК по гипотенузе и катету (∠ОКА=∠ОКВ=90° по условию,ОА=ОВ как радиусы одной окружности, ОК- общий катет).

Из равенства треугольников следует, что КА=КВ. Ч.т.д.

2) ΔОКА=ΔОКВ по третьему признаку равенства треугольников

(АК=КВ по условию, ОК- общая сторона, ОА=ОВ как радиусы одной окружности).

Из равенства треугольников следует, что ∠ОКА=∠ОКВ, но

∠ОКА и ∠ОКВ- смежные и ∠ОКА+∠ОКВ=180° по свойству смежных углов ⇒   ∠ОКА=∠ОКВ=180°:2=90°. Ч.т.д.