Вычислите периметр треугольника с вершинами a(3, 4), b(3, 8), c(64)

 C(64)  →C(6;4)

P = AB + AC + BC = √[(3-3)² + (8 - 4)²]  + √[(6-3)² +(4 - 4)²]  + √[(6-3)² + (4 - 8)²]  = 4 +3+ 5= 12.  

ΔABC прямоугольный треугольник (Пифагорова треугольник) 3² + 4² =5².

Когда говорят, что призма правильная, то в основании правильный многоугольник (в данном случае квадрат), рёбра перпендикулярны основанию. Если вписать в квадрат окружность (основание цилиндра), то эта окружность коснётся квадрата в серединах его сторон. Если мы соединим середины двух смежных сторон (идущих друг за другом), то получим отрезок, по которому пересекается сечение призмы и основание. Нам известно, что сечение квадрат площадью а^2 (а в квадрате). Значит этот отрезок длины а. Но этот отрезок, является гипотенузой равнобедренного треугольника, который мы отрезали от квадрата, когда соединяли середины сторон основания. По теореме Пифагора найдём катет (половина стороны квадрата в основании призмы). Этот катет равен a/sqrt(2). Кстати, этот катет равен радиусу вписанной окружности. 

В задаче неправильное условие.
Должно быть:
Трапеция ABCD (AD и ВС - основания) расположена вне плоскости α. Диагонали трапеции параллельны плоскости .
Через вершины А и В проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α в точках E и F. Докажите, что EABF параллелограмм.

Если диагонали трапеции параллельны плоскости α, то и плоскость трапеции параллельна плоскости α: диагонали - две пересекающиеся прямые плоскости трапеции, а в плоскости α найдутся две прямые, параллельные им.

Значит АВ║α.

Параллельные прямые AE и BF задают плоскость, которая проходит через АВ, параллельную α, и пересекает α. Значит линия пересечения  - EF - параллельна АВ..

В четырехугольнике противолежащие стороны параллельны, значит это - параллелограмм.