Найти меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 28 см и 14 см, если один из углов 45 градусов .

Проведем высоту из вершины тупого угла к основанию. она отрежет от большой стороны отрезок 14, соответственно, второй отрезок будет (28-14)=14. справа видим равнобедренный треугольник (углы 90 и 45, значит третий угол тоже 45), с известной боковой стороной — 14. значит, длина высоты тоже равна 14.

высота в прямоугольной трапеции равна меньшей боковой стороне (прилежащей к прямому углу), значит искомая сторона равна 14.

ответ: 14

1) Проведем другую диагональ АС. Точку пересечения диагоналей обозначим О.
ΔАСD - равнобедренный АD= СD=2,9 см. DО - биссектрисса.
ΔАОD=ΔСОD (по двум сторонам м углу между ними), значит АО=ОС.
ΔАВО=ΔСВО , значит АВ=ВС=2,7 см.
Периметр равен 2(2,7+2,9)=2·5,6=11,2 см.
2) Обозначим длину сторон: х; х-8: х+8; 3(х-8).
По условию:
х+х-8+х+8+3(х-8)=66,
6х-24=66,
6х=90,
х=15.
Стороны четырехугольника равны: 15 см, 23 см, 7 см, 21 см.
3) Проведем диагональ ВD. ΔАВD имеет углы 30° и 85° 
Значит ∠АВD =180-85-30=65°.
∠АВС=∠АВD+∠СВD=65°+65°=130°.
Проведем другую диагональ АС.
ΔАВС по условию равнобедренный: АВ=ВС.
Значит углы при основании равны (180-130):2=25°.
∠САD=85-25=60°.
Диагонали перпендикулярные, дают возможность вычислить углы прямоугольных треугольников, на которые диагоналями поделен четырехугольник АВСD.
Углы четырехугольника: 95°, 50°, 130°, 85°.

1. Пусть a, b - катеты, с - гипотенуза.
a:b = 12:5
a² + b² = 39² = 1521 - по теореме Пифагора
a = 12/5·b 
b² + 144/25·b² = 1521
169/25·b² = 1521
1/25·b² = 9
b² = 9·25 ⇒ b = √9·25 = 3·5 = 15 см.
a = 12/5·15 = 36 см. 
ответ: 15 см; 36 см.

2. a + b = 17
a² + b² = 13² = 169 - опять же теорема Пифагора

a + b = 17
a² + 2ab + b² - 2ab = 169

a + b = 17
(a + b)² - 2ab = 169

a + b = 17
17² - 2ab = 169

a + b = 17
289 - 2ab = 169

a + b = 17
2ab = 120

a + b = 17
ab = 60

По обратной теореме Виета находим, что 
a = 12 см; b = 5 см или же a = 5см; b = 12 см (разницы нет).
ответ: 5 см; 12 см. 

3. Если в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны. 

Значит, сумма боковых сторон равна сумме оснований 
P = 6 см + 12 см + 6 см + 12 см = 36 см.
ответ: 34 см.