Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 27 минут?

Полный круг - 360°.

1 час = 60 минут.

1) 360 : 60 = 6° - 1 минута

2) 6 * 27 = 162° - за 27 минут.

1) Сумма вертикальных углов равна трети прямого угла. Найдите эти углы.Пусть один угол равен х, так как вертикальные углы равны, то и другой угол х, Их сумма 2х = 2/3·(90°)  ⇒х=30° (разделим уравнение на 2, справа 90/3=30)
ответ 30°
2) Два данных угла относятся как 1:3, а смежные с ними — как 4:3. Найдите
данные углы.
Обозначи. один данный угол х, второй 3х, тогда смежные к ним (180-x) и (180-3x) cоответственно
(180-х) : (180-3х) = 4:3  - пропорция.
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних, поэтому
3(180-х)=4(180-3х)
540-3х=720-12х
12х-3х=720-540
9х=180
х=20
ответ. Один угол 20°, второй 60° 
20°:60°=1:3
Смежный  углу в 20°  равен 160°
Смежный углу  60° равен 120°
160°:120°=4:3

Пусть   ABCD   вписанный  четырехугольник  ,AB=a,BC=b , CD =c ,DA=d.
Проведем диагональ AC.
 S= S(ABCD) = S(ABC) +S(ADC) =(1/2)absinB + (1/2)cdsinD=
(1/2)absinB + (1/2)cdsin(180° -∠B)=(1/2)absinB + (1/2)cdsin∠B=(1/2)(ab + cd)sin∠B.
 * * * ∠D +∠B =180° , sin∠D =sin(180° -∠B) =sin∠B ; cos∠D = - cos∠B   * * *  
Из треугольника ABC  по теореме косинусов :
AC² =a² +b² -2abcos∠B .   (1)
Аналогично  из треугольника ADC : 
AC²= c²+d² -2cdcos∠D ;
AC²=c²+d² +2cdcos∠B .     (2)

Из уравнений (1) и (2) получаем  :
a² +b² -2abcos∠B = c²+d² +2cdcos∠B ⇒ cos∠B = (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd) .
sin²∠B =1- cos²∠B =1- ((a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))² =
(1- (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))(1+ (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))=
((c+d)² -(a-b)²)/2(ab+cd))((a+b)² -(c-d)²)/2(ab+cd)) =
(c+d +b-a)(c+d +a-b)(a+b+d -c) (a+b+c -d)/ (2(ab+cd))² = || p = (a+b+c+d)/2|| =
(2p -2a)(2p -2b)(2p-2c)(2p-2d) / (2(ab+cd))² =4(p -a)(p -b)(p-c)(p-d) / (ab+cd)² .
sin∠B =2√((p -a)(p -b)(p-c)(p-d)) / (ab+cd) .
следовательно : 
S =(1/2)(ab + cd)sin∠B =(1/2)(ab + cd)*2√((p -a)(p -b)(p-c)(p-d)) / (ab+cd) =
√((p -a)(p -b)(p-c)(p-d)).

2. Если указанный четырёхугольник ABCD можно описать около окружности ,то :
b+d= a+c (сумма противоположных сторон описанного четырехугольника равны).
p-c = (a+b+c+d)/2 - c =a+c -c =a ;  * * * замена b+d = a+c  * * * 
p-d = (a+b+c+d)/2 - d =b+d -d=b ;  * * * замена  a+c=b+d   * * *
p-a = (a+b+c+d)/2 - a =a+c -a =c ;  * * * замена b+d = a+c  * * *
p-b = (a+b+c+d)/2 - b =b+d -b=d .  * * * замена  a+c=b+d   * * *

S =√(abcd) .