Внутри угла вас, равного 120 градусов проведён луч ак. внутри угла вaк проведён луч ам. угол мак равен 40 градусам . найдите угол между биссектрисами углов вам и сак

ответ должен быть  80 градусов

Pabcd = 40 дм.

Объяснение:

Прямоугольные треугольники DAM и BAN равны по гипотенузе и острому углу (гипотенузы DA и АВ -  стороны ромба, ∠D = ∠B как противоположные углы ромба). Следовательно, ∠DAM = ∠BAN, а так как диагональ АС ромба делит ∠DAB пополам (свойство), то ∠MAC = <NAC = 30°. Тогда в прямоугольных треугольниках MAC и NAC ∠АСМ = ∠ACN = 60° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника). Тогда угол ∠С ромба равен 120°, а ∠D = 60° (по сумме углов ромба, прилегающих к одной стороне).

В прямоугольном треугольнике DAM ∠ADM = 60°, ∠DAM=30°.

Против угла 30° лежит катет DM = 5 дм. Тогда гипотенуза DA (сторона ромба) равна 10 дм, а периметр ромба равен

10·4 = 40 дм.

Все эти треугольники имеют одну и ту же окружность Эйлера, а значит, у них одинаковые радиусы описанных окружностей. Раз равны и радиусы вписанных, то равны (по формуле Эйлера) и расстояния от центров вписанной и описанной окружностей для каждого треугольника. То есть эти треугольники AHB, BHC, CHA удовлетворяют теореме Понселе для заданной пары двух окружностей (одна описанная и одна вписанная).

То есть есть фиксированная пара вложенных окружностей, в которую можно поместить каждый из этих треугольников так, что большая окружность будет описанной, а меньшая - вписанной.

Для теоремы Понселе для треугольника легко доказать что, если у двух треугольников с ОБЩИМИ вписанной и описанной окружностями есть одинаковые стороны, то они равны (с точностью до симметрии).

(Если бы это было не так, то из леммы трезубца следовало бы, что центр вписанной окружности совпадает с центром описанной. )

Поэтому все три треугольника AHB, BHC, CHA равны между собой.

Я не очень боюсь выкладывать идею решения - по двум причинам. Во-первых, этот пост легко можно признать нарушением правил и удалить. Во-вторых, сама задача должна быть удалена согласно правилам сервиса.

Так что эта публикация не нарушает моего решения не выкладывать ответы на этом сервисе (до возврата к правилам 2012 года, когда я тут начинал что-то решать).