Внаклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее ребро, равное 24 см, отстоит от двух других боковых ребер на 12 см и 35 см. найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь  боковой  поверхности  наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. возьмем  перпендикулярное сечение nkp, np  и nk перпендикулярны ребру аа1, тогда угол pnk  - линейный угол двугранного угла, образованного боковыми гранями призмы аа1с1с и аа1в1в, т к эти грани по условию перпендикулярны, то угол pnk=90°, треугольник nkp прямоугольный. np  и nk – расстояния между ребром аа1 и ребрами сс1 и вв1, их длины равны 12 см и 35 см. гипотенуза kp в треугольнике nkp по т. пифагора равна 37 см.  sбок=24(12+35+37)=2016 кв см

Мавс - правильная пирамида. ав=вс=ас=а, < mao=< mbo=< mco=60° мо - высота пирамиды, о -   центр  δавс прямоугольный  δмоа:   катет мо=н, найти катет ао=(2/3)ак, ак - высота  δавс ак=а√3/2 ао=(а√3/2)*(2/3), ао=а√3/3 < moa=60°. tg60°=mo: oa. mo=oa*tg60° mo=(a√3/3)*√3, mo=a конус описан около правильной пирамиды,=> основание пирамиды - правильный треугольник в писан в окружность, вершина конуса "совпадает" с вершиной пирамиды, т.е высота пирамиды=высоте конуса. н=а, r=ao, r=a√3/3

площадь треугольника авд равна сумме площадей треугольников амд и авм и равна 6+3=9. высота  треугольника авд равна высоте трапеции авсд. введём обозначения:   h  -  высота  треугольника амд,  h  -  высота треугольника авд,    a  -  нижнее основание трапеции,   в  -  верхнее основание. отношение высот определим из их площадей: (1/2)a*h = 6, (1/2)a*h = 9. отсюда  h/н = 6/9 = 2/3. теперь рассмотрим треугольник вмс. он подобен треугольнику амд. высота его равна н -  h, а площадь пропорциональна квадрату сходственных сторон. произведение  a*h = 6*2 = 12,                         a*h = 9*2 = 18. если принять целочисленные значения этих величин, то такое соотношение возможно при значениях а = 3,  h = 4, н = 6. тогда н -  h = 6 - 4 = 2. площадь треугольника  вмс равна:

(1/2)в*(н  -  h) = (1/2)в*2 = в. отношение  площадей треугольников вмс и амд равно 

(н –  h)²/h²  = 2²/ 4²  = 4/16 = 1/4.

то есть s(вмc) = (1/4)*s(амд),

  (1/2)в*(н  -  h) = (1/4)*6.

(1/2)в*2 = 6/4,

  в = 6/4 = 3/2.

перенесём сторону вс к нижнему основанию в точку д.

получим треугольник авд₁, равновеликий по площади трапеции авсд.

s(авсд) = s(авд₁) = (1/2)*h*(a+в) = (1/2)*6*(3+(3/2)) = 27/2 = 13,5 кв.ед.