Построить окружности описанные около прямоугольного треугольника . окружность, вписанную в прямоугольный треугольник

1
Рассмотрим треугольник AOC и треугольник BOD:
Угол AOC =  BOD (как вертикальные)
AO=OB и CO=OD (по условию,т.к. точка является O - посередине)
значит, треугольник AOC =  равен треугольнику BOD (по двум сторонам и углу между ними)
значит угол DAO =  равен углу  CBO(в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы)

2
Рассмотрим треугольник ABD и треугольник ADC:
по условию,  угол BDA  = углу ADC
сторона AD - общая и по условию угол BAD = углу DAC (т.к. AD - биссектриса)
Значит,  треугольник ABD = треугольнику ADC(по двум углам и стороне между ними)
значит сторона AB=AC(т.к. в равных треугольниках против равных углов лежат равны стороны)

A. Продлим медиану АМ до пересечения с продолжением стороны ВС трапеции. Треугольники АМD и СMQ подобны по двум углам (<MCQ=<MDA как накрест лежащие при параллельных BQ и AD, <CMQ =<AMD как вертикальные).
Из подобия имеем: CQ/AD=СM/MD=1 (так как СМ=MD - дано).
Итак, CQ=AD. Тогда BQ=BC+CQ. Но BC=(1/3)*AD (дано), а CQ=AD (доказано выше). Следовательно, BQ=(1/3)*AD+AD, отсюда
3BQ=4AD.  BQ/AD=4/3.
Треугольники АРD и ВРQ подобны по двум углам (<РВQ=<РDA как накрест лежащие при параллельных BQ и AD и секущей BD,
<ВРQ =<AРD как вертикальные).
Из подобия имеем:  ВР/PD=ВQ/AD=4/3. Что и требовалось доказать.

В. Площадь трапеции  АВСD Sabcd=(BC+AD)*BH/2=(2/3)AD*BH.
Площадь треугольника AMD равна Samd=(1/2)*AD*PH.
Площадь треугольника ABD равна Sabd=(1/2)*AD*BH.
Площадь треугольника AMD равна Samd=(1/2)*AD*MK.
Но МК=(1/2)*ВН (из подобия треугольников AMD и CMQ). Значит Samd=(1/4)*AD*ВН.
Площадь треугольника AРD равна Saрd=(1/2)*AD*РТ.
Но РТ=(3/7)*ВН (из подобия треугольников AMQ и APD). Значит Saрd=(3/14)*AD*ВН.
Площадь треугольника РМD равна
Spmd=Samd-Sapd=(1/4-3/14)*AD*ВН =(1/28)*AD*ВН
Sbcmp=Sabcd-Sabd-Spmd=(2/3-1/2-1/28)AD*BH = (11/84)*AD*BH.
(2/3)AD*BH=56 (дано). Тогда AD*BH=84.
Sbcmp=(11/84)*84=11.