як кусок картону, який має прямокутну форму із сторонами 9 см і 4 см розрізати на 2 рівні частини так, щоб із них можна було скласти квадрат?

потрібно розрізати як показано на малюнку. Одна клітина дорівнює одному сантиметру.

Вокруг прямоуг.треугольника опишем окружность. По т.о том, что прямой угол всегда опирается на диаметр имеем, что вершина прямого угла лежит на окружности, а гипотенуза является диаметром. Радиус окружности равен 12/2=6 см. Для нахождения площади высоту на гипотенузу опускаем из вершины прямого угла, поэтому высота с одной стороны может быть очень маленькой - близкой к нулю, а с другой стороны - максимальное значение она принимает, когда равна радиусу окружности =6, тогда площадь треугольника меняется от нуля, не включая ноль, до 1/2*6*12=36. ответ: (0; 36].

Для построения высоты применяется метод построения перпендикуляра из точки к прямой. 

Построениевысоты из вершины С. 

Из С, как из центра, чертим полуокружность и делаем насечки на прямой АВ  в точках С1 и С2. Стороны СС1 и СС2 треугольника С1СС2 - радиусы, поэтому он равнобедренный.

 Из точек С1 и С2 как из центров, строим полуокружности равного радиуса так, чтобы они пересеклись по обе стороны от АВ. 

Через точки их пересечения к вершине С проводим отрезок НС. Отрезки С1Н=НС2, а СН - перпендикуляр к АВ. 

Высоты из А и В строятся точно так же.