Написать разложение вектора х по векторам p, q, r ?

Для начала нужно проверить на базис. Если определитель матрицы, образованной векторами p,q,r равен нулю, то не является базисом, противном случае — является.

Дальше нужно решить систему уравнения методом Гаусса и найти решение, сведя к единичной матрицы.

— разложение вектора х по векторам p,q,r

(x₁;x₂;x₃) - решение системы.

 

Квадрат вписан в окружность, которая, в свою очередь, вписана в правильный треугольник.

Пусть сторона треугольника равна а.
Высота его равна
(a√ 3):2
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен одной трети ее высоты:
r=(a√ 3):6
Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали.
А диагональ = 2r.
Так как окружность одна и та же:
d=2r =2(a√ 3):6=(a√ 3):3
Пусть сторона квадрата равна у. Тогда его диагональ
d=у√2
Подставим значение диагонали
у√2=(a√ 3):3
у=(a√ 3):3):√2=(a√ 3):3√2
Сторона треугольника : сторона квадрата
а:у=а:(a√ 3):3√2=3а√2):a√ 3
Умножим на √ 3 числитель и знаменатель дроби:
а:у=3 √2): √ 3=3 √2*√ 3): √ 3*√ 3=3√6):3=√6
ответ: отношение сторон правильных треугольника и квадрата =√6:1  или 

 квадрата и треугольника 1:√6

Осевое сечение конуса проходит через центр шара.
На рисунке ΔАВС - осевое сечение конуса, ВН - высота конуса, О - центр шара.
ОН = r - радиус шара.
Центр вписанной окружности - О - точка пересечения биссектрис.
СО - биссектриса, ⇒
∠ВСО = ∠НСО = α/2
ΔОНС: ∠ОНС = 90°,
             tg ∠HCO = OH/HC
             tg α/2 = 2/HC
HC = 2 / tg α/2 = 2 · ctgα/2
AC = 2HC = 4 · ctg α/2

ΔBCH: ∠BHC= 90°,
             tg∠BCH = BH/HC
             tg α = BH / (2·ctg α/2)
BH = 2 · ctg α/2 · tg α

Sсеч = 1/2 · AC · BH = 1/2 · 4 · ctg α/2 ·2 · ctg α/2 · tg α
Sсеч = 4 · ctg²α/2 · tgα = 4 · ctg²α/2 · 2tgα/2 / (1 - tg²α/2)
Sсеч = 8 · ctg α/2 / (1 - tg²α/2)
α = 50°, α/2 = 25°
Sсеч = 8 · ctg 25° / (1 - tg²25°) ≈ 21,5 м²