Осевое сечение конуса - треугольник, площадь которого 16√3 см², а один из углов 120°. найдите площадь полной поверхности конуса.

S =1/2*L*L*sin120°  (L _образующая конуса) ;

16√3 =1/2*(√3)/2*L² ⇒ L =8 (см) ; 

Радиус основания  R = L*sin(120°/2) = 8*(√3)/2 =4√3 (см).

Sпол =Sосн+ Sбок =πR² + πRL= π(4√3)² +π*4√3*8 =16(3+2√3)π (см²).

V =1/3*πR²*H  ;  

высота конуса H = Lcos60° =8*1/2 =4 (см);

V = 1/3*π*(4√3)²*4 =64π (см³).

ответ : 4√3 см ; (48 +32√3)π см² ; 64π см³.

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 10 см и составляет с её высотой угол 30 градусов.   Найдите линейный угол двугранного угла при основании пирамиды. -----

  Линейным углом двугранного угла называется  пересечение двугранного угла и плоскости, перпендикулярной к его ребру,

  Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Основание О высоты пирамиды совпадает с точкой пересечения диагоналей основания, т.к. все ребра пирамиды равны, значит, равны их проекции. 

  Плоскость MSH перпендикулярна ребру DA двугранного угла.  
 Искомая величина - угол SMO.  
Для его нахождения нужно вычислить длину высоты SO пирамиды и ребра основания.  
Угол ВЅО по условию 30°. 
Следовательно, ОВ, как противолежащий этому углу катет, равен половине гипотенузы SB. 
ОВ=5 см.  
АВ=ОВ√2 как гипотенуза равнобедренного прямоугольного ∆ АОВ.  
АВ=5√2см 
SO=SB*cos 30°=5√3 см 
 МН=АВ=5√2 
ОМ=МН:2=2,5√2 
tg∠SMO=SO:MO= (5√3):2,5√2 
 tg∠SMO=√6=2,44958 
∠SMO=arctg√6= ≈67º48'

Очевидно маленьккий круг вписан в в "лунку", т.е. касается большого круга внешним образом. Радиус большого круга равен половине стороны квадрата, т.е. равен 1.Проведем общую касательную у обеим окружностям. Она отсекает прямоугольный равнобедренный треугольник, в который вписан маленький круг.   Маленький круг вписан в треугольник равнобедренный, прямоугольный , с высотой sqrt(2)-1.
Его стороны : 2-sqrt(2), 2-sqrt(2),2(sqrt(2)-1). Половина периметра:
2-sqrt(2)+sqrt(2)-1=1
Произведение  радиуса вписанной окружности на половину периметра треугольника равно площади треугольника. Поэтому:
Радиус вписанного круга  r*1=(2-sqrt(2))^2/2
r= 2-2sqrt(2)+1=3-2*sqrt(2)
r*r=9-12*sqrt(2)+8=17-12*sqrt(2)
Площадь маленького круга : pi*(17-12*sqrt(2))
Примерно; 0,0925
Примечание: sqrt - квадратный корень.