Боковые стороны трапеции 13 см и 7 см. найти периметр трапеции если в неё можно вписать окружность

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, значит у него суммы противоположных сторон равны.

Сумма боковых сторон  13++7=20 см, значит сумма оснований тоже 20.

периметр трапеции равен 40 см

1.

М - середина АВ, значит МВ = АВ/2

Р - середина МВ, значит РВ = МВ/2 = АВ/4

К - середина ВС, значит КС = ВС/2

Е - середина КС, значит ЕС = КС/2 = ВС/4

N - середина АС, значит NA = АС/2

G - середина NA, значит GA = NA/2 = AC/4

По условию

PB + EC + GA = 12

АВ/4 + ВС/4 + АС/4 = 12

1/4 · (АВ + ВС + АС) = 12

АВ + ВС + АС = 12 · 4 = 48 (см)

2.

Из решения первой задачи следует, что

АР = 3/4 АВ

ВЕ = 3/4 ВС

CG = 3/4 AC

По условию

AP + BE + CG = 108

3/4 АВ + 3/4 ВС + 3/4 АС = 108

3/4 · (АВ + ВС + АС) = 108

АВ + ВС + АС = 108 · 4/3 = 144 (см)

Рассмотрим треугольник АВС:

∠АВС = 90°, АС = 2АВ, значит ∠АСВ = 30° по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°.

Тогда ∠ВАС = 90° - ∠АСВ = 90° - 30° = 60°, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит

АО = ОВ, т.е. ΔАОВ равнобедренный и углы при основании равны:

∠ОАВ = ∠ОВА = 60°, тогда

∠АОВ = 180° - (∠ОАВ + ∠ОВА) = 180° - (60° + 60°) = 60°.

∠ВОС = 180° - ∠АОВ = 180° - 60° = 120° по свойству смежных углов.