Різниця двох кутів паралелограма 116 градусів. знайти кути.

А)

ВС^2=AB^2+AC^2 - 2*AB*AC*cosA=11^2+8^2 - 2*11*8*cos60=121+64-2*88*1/2=97

BC=√97 см

б)

AC^2=AB^2+BC^2 - 2*AB*BC*cosB=13^2+7^2-2*13*7*cos60=169+49-2*13*7*1/2=127

АС=√127 см

2

теорема косинусов

а)

cos120= - cos60

NP^2=MN^2+MP^2 -2 MN*MP*cos120=7^2+15^2-2*7*15*(-cos60)=

=49+225-2*7*15*(-1/2)=379

NP=√379 см

б)

NP^2=

3

cos120= - cos60

а) меньшую диагональ (ВD)

лежит напротив  острого угла <60

BD^2=6^2+8^2-2*6*8*cos60=36+64-2*48*(1/2)=52

BD=√52=2√13 см

б) большую диагональ (АС)

лежит напротив тупого угла <120

AC^2=6^2+8^2-2*6*8*cos120=36+64-2*48*(-1/2)=148

AC=√148=2√37 см

4

а) его стороны равны 8 мм и 10 мм, а одна из диагоналей равна 14 мм;

14^2=8^2+10^2 -2*8*10*cos<A

196=64+100 - 160*cos<A

32= - 160*cos<A

cos<A= - 32/160 =-1/5= -0.2

б) его стороны равны 12 дм и 14 дм, а одна из диагоналей равна 20 дм.

20^2=12^2+14^2 -2*12*14*cos<B

400=144+196-336* cos<B

60 =-336* cos<B

cos<B = - 60/336 = - 5/28

5

диагональ (d)и две стороны (a) (b) образуют треугольник

значит третий угол треугольника  <A=180-20-60=100 град

дальше по теореме синусов

a/sin20=b/sin60=d/sinA=25/sin100

a=sin20*25/sin100=0.3420*25/0.9848=8.7 см

b= sin60*25/sin100=√3/2*25/0.9848=22 см

6

угол <С=180-<A-<B=180-30-40=110

по теореме синусов

AC/sin<B=BC/sin<A=AB/sin<C=2R

AC/sin40=BC/sin30=16/sin110

AC=sin40*16/sin110= 0.6428 *16/0.9397=10.94 см =11 см

BC= sin30*16/sin110=1/2*16/0.9397= 8.5 см

радиус описанной окружности

AB/sin<C=2R

R= AB/(2*sin<C)=16 / (2*sin110)=8/ sin110 = 8.5 см

7

8

углы параллелограмма А и В - односторонние

<A - напротив диагонали d1

<B=180-<A - напротив диагонали d2

cosA= - cosB=

d1^2=a^2+b^2-2ab*cosA

d2^2= a^2+b^2-2ab*cosB = a^2+b^2-2ab*(-cosA)= a^2+b^2+2ab*cosA

d1^2+d2^2 = a^2+b^2-2ab*cosA + a^2+b^2 +2ab*cosA = a^2+b^2 + a^2+b^2 = 2 *( a^2+b^2  )

ДОКАЗАНО сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов (ЧЕТЫРЕХ)сторон

9

10

11

12

13

Вроде это, Заранее незочто

РЕШЕНИЕ

сделаем построение по условию

AB = BC , так как ABCD -квадрат

Точка M делит сторону BC в отношении 1:2 -можно считать , 

что сторона ВС состоит из 3-х равных частей.

Точка E делит сторону AB в отношении 1:3 - можно считать , 

что сторона АВ состоит из 4-х равных частей.

Прямая CE пересекает стороны AM и MD треугольника AMD в точках К и L соответственно.

Дополнительное построение : 

обозначим точку М1 - середина отрезка MC , тогда BM=MM1=M1C

проведем через точки М, М1 прямые m, m1 параллельные прямой CE 

по теореме Фалеса :

параллельные прямые m,m1,CE отсекают на сторонах угла <EBC

пропорциональные отрезки

на стороне ВС : BM=MM1=M1C , значит на стороне BE тоже три равные части 

обозначим для так как сторона АВ состоит из 4-х равных частей, то любая часть может быть 

представлена в виде 3х , тогда BE=3x, тогда ЕА=9х, тогда отношение 1 : 3 = 3х : 9х = 3 : 9

рассмотрим угол <BAM

снова теорема Фалеса, снова параллельные прямые m,m1,CE , снова 

пропорциональные отрезки на сторонах угла

MK : KA = 2x : 9x = 2 : 9 <это сторона АМ треугольника AMD

Дополнительное построение : 

проведем прямую DM до пересечения с прямой АВ - точка Р

проведем прямую DN параллельную прямой CE 

прямая DN отсекает на прямой АВ отрезок AN 

CE || DN , EN || CD

NECD - параллелограмм , так как противоположные стороны попарно параллельны

следовательно BE=AN , тогда BE : EN = 1 : 4

т. е. отрезок BN состоит из 5-и равных частей.

тогда BE=3x, тогда ЕN=12х, тогда отношение 1 : 4 = 3х : 12х = 3 : 12

рассмотрим угол <NPD

снова теорема Фалеса, снова параллельные прямые m,m1,CE,DN , снова 

пропорциональные отрезки на сторонах угла

ML : LD = 2x : 12x = 2 : 12 = 1 : 6 <это сторона МD треугольника AMD

ОТВЕТ

для стороны АМ отношение 2 : 9

для стороны МD отношение 1 : 6

Подробнее - на -

Объяснение: