Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 78 градусов на боковой стороне треугольника как на диаметре построена полуокружность которые другие стороны треугольника делят на три дуги найдите градусные меры образовавшихся дуг

1. Соединим точки С и D с центром. Тогда треугольники AOD и ВОС равнобедренные (OA = OB = OC = OD как радиусы), ⇒

∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.

∠2 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей АВ. Но тогда в этих треугольниках равны и углы при вершине О. Значит треугольники AOD и ВОС равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒

AD = BC.

2. Точки, находящиеся на данном расстоянии от данной прямой а, будут расположены на прямой, параллельной прямой а (красные прямые). В зависимости от расположения прямых задача может иметь одно решение (1), два решения (2) и не иметь решения (3).

ответ: а) 6/√5 (ед. длины). б) 108/√5=21,6√5 (ед. площади)

Объяснение: Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на биссектрисе его угла.⇒ АН - биссектриса угла ВАD, О - центр окружности. ОК и ОЕ - радиусы, проведенные к точкам касания. По свойству отрезков касательных,  проведенных к окружности из одной точки.  АК=АЕ; DE=DH; FK=FH

 Примем АК=АЕ равным х. Тогда ЕD=DH=9-х.

а) Рассмотрим рисунок приложения.  Угол AFD=∠CDF (накрестлежащие при FA||CD и  секущей FD)  Но ∠CDF=∠ADF (DF- биссектриса ) ⇒ ∠АFD=∠FDA. ⇒ ∆ FAD – равнобедренный и AF=AD=9.

  АН - биссектриса угла равнобедренного треугольника, ⇒ АН – его высота и медиана ( свойство). ⇒ FН=НD=9-х

  Аналогично в ∆ КАЕ  биссектриса АМ равнобедренного ∆ АКЕ - медиана и высота. ⇒ КМ=МК=4:2=2.

     Прямоугольные ⊿ МАЕ и ⊿ НAD  подобны по общему острому углу при А.  Из подобия следует отношение DH:ЕМ=DA:ЕА.

т.е. (9-х):2=9:х., откуда получаем х²-9х+18=0.  По т.Виета х₁+х₂=-(-9)=9;    х₁•х₂=18 ⇒ х₁=3; х₂=6

  По условию АЕ< AD, поэтому АЕ=3, ED=6

Из ⊿ АНD по т.Пифагора АН=√(AD*-DH*)=√(81-36)=3√5

 ⊿ АОЕ и ⊿ АDH подобны по общему углу при вершине А, из чего следует ОЕ:DH=AE:AH ⇒ r=AE•DH:AH =3•6:3√5.=6/√5.

б) При условии, что окружность касается стороны BC параллелограмма, диаметр РЕ окружности, вписанной в угол ВАD, будет высотой параллелограмма. S=h•a=2r•AD=(12/√5)•9=108/√5. = 21,6√5 (ед. площади)