Точки a и e лежат по разные стороны от прямой bd, ad//be.докажите, что треугольник dba= треугольнику bde и найдите ab, если de=5см.

АД=ВЕ, АД парал-на ВЕ, треугл. АВД=треугл. ВДЕ по 2-ум сторонам (АД=ВЕ, ВД-общая) и углу между ними (угол ДВЕ=угол ВДА) , ДЕ=АВ=5, угол ДВА=угол ВДЕ

Рас. треугл. ВАД и треугольник ВДЕ, у данных треугольников вд общая, АД=ВЕ, значит АВ=ДЕ.АВ=5см.

Угол АВД= углу ВДЕ (т.к внутренние накрест лежащие.)

ответ АВ=5 см.

1 признак.
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Дано: ABCD, AD║ BC, AD = BC.
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство:
Проведем BD.
ВС = AD по условию,
∠1 = ∠2 как накрест лежащие при пересечении AD║BC секущей BD,
BD - общая сторона для треугольников ABD и CDB, ⇒
ΔABD = ΔCDB по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников следует, что
∠3 = ∠4, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых CD и АВ секущей BD, значит
CD║AB.
Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны, то это параллелограмм.

2 признак.
Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Дано: ABCD, AB = CD, BC = AD.
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство:
Проведем BD.
ВС = AD по условию,
AB = CD по условию,
BD - общая сторона для треугольников ABD и CDB, ⇒
ΔABD = ΔCDB по трем сторонам.
Из равенства треугольников следует, что
∠1 = ∠2, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых ВС и AD секущей BD, значит ВС║AD и ABCD - параллелограмм по первому признаку.

3 признак.
Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Дано: ABCD, AC∩BD = O, AO = OC, BO = OD.
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство:
AO = OC по условию,
BO = OD по условию,
∠АОВ = ∠COD как вертикальные, ⇒
ΔАОВ = ΔCOD по двум сторонам и углу между ними.
Значит, AB = CD и ∠1 = ∠2, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и CD секущей АС, значит АВ║CD.
ABCD - параллелограмм по первому признаку.

1) KMNB параллелограмм - верно, так как BN║KM по условию и MN║KB  как основания трапеции.

2) KMNB ромб - неверно, так как MN ≠ KM по условию.

3) MNPB ромб - верно. MB║NP по условию, MN║BP как основания трапеции, значит MNPB - параллелограмм.
Смежные стороны у него равны (MN = NP по условию), значит MNPB - ромб.

4) ∠KBM = ∠MBN - неверно, так как в параллелограмме, который не является ромбом, диагонали не лежат на биссектрисах углов.

5) ∠MBN = ∠NBP - верно так как в ромбе диагонали лежат на биссектрисах его углов.