Через вершину b трапеции abcd с основаниями ad и bc проведена прямая, параллельная диагонали ac. пусть эта прямая пересекается с продолжением основания ad в точке e. докажите, что медиана bk треугольника dbe равна отрезку, соединяющему середины оснований трапеции.

                      Решение : /////////////////////////////////

Диагональ призмы D= 8см , высота призмы Н=2см и диагональ ромба d составляют пиямоугольный треугольник,поэтому по теореме Пифагора определяем диагональ ромба:
d²=8²-2²  d=√64-4=√60
Диагональ призмы 5см,высота2см и другая диагональ ромба составляют прямоугольный треугольник; находим вторую диагональ
д=√25-4=√21
Диагонали в ромбе взаимоперпендикулярны и делят друг друга пополам,поэтому основание разделено на четыре перпендикулярных
треугольника,поэтому сторону ромба находим по теореме Пифагора;(стороны тругольника равны соответственно диагоналям ромба деленных пополам)

а=√21/4+60/4=√81/4=9/2=4.5см

В остроугольном треугольнике ABC медиана AM равна высоте BH, ∠MAB = ∠HBC. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Дано: ΔАВС - остроугольный, АМ = ВН, ∠МАВ = ∠НВС, СМ = МВ, ВН⊥АС.

Доказать: ΔАВС - равносторонний.

==========================================================

Построим описанную окружность ( О ; R ) около ΔАВС и продолжим прямые АМ и ВН до пересечения с окружностью в точках Р и Е, тогда ВР = ЕС - как хорды, стягивающие равные дуги. Следовательно, ЕСРВ - равнобокая трапеция ⇒ ЕВ || СР.  ЕВ⊥АС - по условию ⇒ СР⊥АС. Значит, ∠АСР = 90° ⇒ АР - диаметр окружности. Диаметр окружности делит хорду СВ пополам, соответственно, АР⊥СВ ⇒ ВР = СР = ЕС. Итого, АР⊥СВ, ЕВ⊥АС, но АМ = ВН - по условию ⇒ АР = ВЕ - диаметры окружности, АР∩ВЕ = О - центр окружности. Проводя третий диаметр ТС получаем правильный шестиугольник ATBPCE. Из этого следует, что АВ = ВС = АС - как ме'ньшие диагонали прав. шест-ка ⇒ ΔАВС - равносторонний, что и требовалось доказать.