Скрещивающиеся прямые а и b параллельны соответственно сторонам ab и ac треугольника abc. выясните, перпендикулярны ли прямые а и b, если: а) ab=8см, bc=6cм, ас=10см. в) ∠с=120°, ∠в=30°.

Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 см. Радиус окружности, описанной около ее основания-8 корней из 3. Вычислить: 

а) длину бокового ребра пирамиды.

б) площадь боковой поверхности пирамиды.

–––––––––––

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Высота перпендикулярна основанию пирамиды МАВС, а его центр является центром описанной и вписанной в правильный треугольник окружности. Причем радиус описанной окружности равен 2/3 этой высоты, а радиус вписанной –1/3.

а) Боковое ребро  АМ пирамиды –  гипотенуза прямоугольного треугольника МОА. 

По т.Пифагора АМ=√(АО²+МО²)=√(64+192)=16 см

б) Боковые грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники с боковыми сторонами, равными боковому ребру и основанием, равным  стороне основания пирамиды.  

Площадь боковой поверхности - сумма площадей трех равных граней.  Боковое ребро найдено  =16.

Найти сторону АВ основания длина описанной окружности. 

R=a:√3 - формула радиуса описанной окружности правильного треугольника, где а- сторона треугольника. ⇒

а=R•√3⇒

АВ=8•3=24

S ∆ AMB=MH•AB:2=MH•AH

Из ⊿ МОН  по т.Пифагора

МН²=МО²+ОН²

ОН - радиус вписанной в правильный треугольник окружности и равен половине радиуса описанной,⇒

ОН=4√3

МН=√(МО²+ОН²)=√(64+48)=√112=4√7⇒

S бок=3•S∆ AMB=3•12•4√7=144√7 см²

 Основанием данной пирамиды является правильный треугольник, а вершина пирамиды проецируется в его центр ( общую точку пересечения высот, биссектрис, медиан).

Обозначим пирамиду МАВС. 

Высота МО=8 см, ребра равны 10 см. 

Проведем СН⊥АВ⇒ ВН=АН 

Из ∆ ВОМ катет ВО=6 см ( египетский треугольник)

В ∆ ВОН  угол ОВН=30°, ⇒ ВН=ВО•cos30°=3√3. 

АВ=2•ВН=6√3 

Из ∆ ВМН апофема МН=√(BM²-BH²)=√(100-27)=√73

Ѕ(бок)=3•Ѕ(АВМ)=3•МН•АВ÷2=3•(√73)•3√3=133,1878

Ѕ(АВС)=0,5•AB²•sin60°=18•3•√3:2=27√3=46,7654

Ѕ (полн)=9•√219)+27√3=179,953 см²