Длина окружности, вписанная в правильный четырехугольник, равна 8п см. найти сторону и площадь четырехугольника.

правильный четырехугольник - это квадрат.

радиус окружности, вписанной в квадрат равен половине стороны квадрата, r = a/2

c = 2пr - формула длины окружности. найдем отсюда r.

8п = 2пr

r = 8п/2п = 4

4= а/2

а=4*2 = 8(см) - сторона квадрата

s = а*а = 8*8 = 64(кв.см) - площадь квадрата

Если из точки вне окружности к ней проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от этой точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от этой точки до точек ее пересечения с окружностью. чертеж: нарийсуй окружность, потом, например, слева от окр. точку a, от нее касательную (точку пересеч обозначь b), и из точки a секущую (точки пересечения с окр. обозначь (слева направо) c и d). подпиши над ab: 10-(x+4); над ac: x; cd: x+4; ad: 2x+4. решение: составим уравнение: (10-(x+4))^2=x*(2x+4) (6-x)^2=2x^2+4x; 36-12x+x^2-2x^2-4x=0; x^2+16x-36=0; d=256-4*(-36)=400; корень из d = 20; x = (-16+20)/2=2; 10-(x+4)=6-x=4. ответ: длина касательной 4 см.

гипотенуза ав

ав = 6

высота сн

медиана см

площадь

s = 1/2*ab*ch = 9/2

1/2*ab*ch = 9/2

6*ch = 9

ch = 3/2

mb = мс = ма = 1/2*ab = 3

площадь треугольника мсв через сторону и высоту к ней

s(mcb) = 1/2*mb*ch = 1/2*3*3/2 = 9/4

площадь треугольника мсв через две стороны и угол меж ними

s(mcb) = 1/2*mb*mc*sin(∠cmb) = 1/2*3*3*sin(∠cmb) = 9/4

1/2*3*3*sin(∠cmb) = 9/4

sin(∠cmb) = 1/2

∠cmb = 30°

опишем окружность вокруг  δавс

∠смв - центральный∠сав - вписанный, опирающийся на ту же дугу. и он в 2 раза меньше центрального

∠сав = 30/2 = 15°в  δамсам = мс - треугольник равнобедренный∠сам =  ∠асм = 15°сд - биссектриса, делит исходный угол в 90° пополам∠дсв = 90/2 = 45°и теперь можно найти угол между биссектрисой и медианой

∠мсд = 90 - ∠асм - ∠дсв = 90 - 15 - 45 = 30°