Впрямоугольнике авсd проведены диагонали ас и вd, пересекающиеся в точке о. угол аов равен 80°. найти угол аво и угол овс.

По решению мы узнали, что

Угол ABO=50, угол OBC=30

В тетраэдре ABCD, где A(1; 0;-1), B(1; 2; 0),C(0; 1;-2), D(-1;-4; 1), найти на плоскости грани ABC точку, ближайшую к вершине D.

Точка на плоскости грани ABC, ближайшая к вершине D, - это основание  перпендикуляра из точки D к плоскости АВС, или по-другому – точка пересечения этого перпендикуляра с плоскостью.

Находим уравнение плоскости и её нормальный вектор.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA               y - yA                 z - zA

xB - xA           yB - yA               zB - zA

xC - xA          yC - yA               zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

  x - 1            y               z - (-1)

  1 - 1         2 – 0           0 - (-1)

  0 - 1         0 – 1          -2 - (-1) = 0

 x - 1        y       z + 1 |       x - 1        y

 0             2          1    |         0           2

-1           -1          -1    |        -1          -1     =  

= (x – 1)*(-2) + y*(-1) + (z + 1)*0 – y*0 – (x – 1)*(-1) – (z + 1)*(-2) =

= -2x + 2 – y – x + 1 + 2z+ 2 = -3x – y + 2z + 5 = 0 или с положительным коэффициентом при х: 3x + y – 2z – 5 = 0.

Нормальный вектор этой плоскости равен (3; 1; -2) и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.

Получаем уравнение перпендикуляра из точки D(-1;-4; 1).

((x + 1)/3) = (y + 4)/1 = ((z – 1)/(-2).

Координаты, которые имеет точка М пересечения  x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:

{((x + 1)/3) = (y + 4)/1 = ((z – 1)/(-2).

{3x + y – 2z – 5 = 0.

Из уравнения прямой получаем зависимость переменных.

x + 1 = 3y + 12, отсюда y = (1/3)x – (11/3).

-2x - 2 = 3z – 3, отсюда z = (-2/3)x + (1/3).

Подставим их в уравнение плоскости.

3x + ((1/3)x – (11/3)) – 2((-2/3)x + (1/3)) – 5 = 0,

3x + (1/3)x – (11/3) + (4/3)x – (2/3) – 5 = 0,

(14/3)x = 28/3,

x = 28/14 = 2,

y = (1/3)*2 – (11/3) =  -9/3 = -3,

z = (-2/3)*2 + (1/3) = -3/3 = -1.

Найдена точка М пересечения перпендикуляра из точки D с плоскостью ABC.

Это и есть проекция точки D на плоскость АВС.

М(2; -3; -1).

Грань АА1С1С - квадрат. 

АС по т.Пифагора равна 20. В призме все боковые ребра равны. ⇒ ВВ1=СС1=АА1=АС=20.

По условию боковые ребра пирамиды АВ1СВ равны, значит, их проекции равны между собой и равны радиусу окружности, описанной около основания АВС. ⇒

Вершина пирамиды В1 проецируется в центр Н описанной около прямоугольного треугольника окружности, т.е. лежит в середине гипотенузы. 

∆ АВС прямоугольный, R=АС/2=10. 

АН=СН=ВН=10. 

Высота призмы совпадает с высотой В1Н пирамиды.

По т.Пифагора 

В1Н=√(BB1²-BH²)=√(20²-10²)=√300=10√3

Формула объёма призмы

 V=S•h где S - площадь основания, h - высота призмы. 

S-12•16:2=96 (ед. площади)

V=96•10√3=960√3 ед. объёма.