Через точку а проведены касательная ав (в – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках p и q. докажите, что ab²= ap*aq.

пусть о - центр окружностипусть ав = апусть ар = впусть aq = cпусть аo = хпусть ов = ор = оq = rпусть угол рао = у**************************по теореме пифагора и по теореме косинусов выразим стороны трех треугольников с общей вершиной а и общей стороной аополучим 3 уравненияx² = a² + r²r²=x² + b²-2xb*cos(y)r²=x²+c²-2xc*cos(y)***************x² = a² + r² r²=a² + r²+ b²-2xb*cos(y) r²=a² + r²+c²-2xc*cos(y) *************** a² + b²=2xb*cos(y) a² +c²=2xc*cos(y) *************** (a² + b²)*c=2xbc*cos(y) (a² +c²)*b=2xbc*cos(y) *************** (a² +c²)*b=(a² + b²)*c *************** a²b +c²*b=a²c + b²*c ***************a²b - a²c = b²*c-c²*b ***************a²(b - c) = bc(b-c) ***************a² = bc ***************ab²= ap*aq - что и требовалось доказать

Проведём к основанию δ высоту, получим 2 прямоугольных треугольника. высота в равнобедренном треугольнике является медианой, значит основание треугольника разделится на 2 равные части: 16 : 2 = 8см - это меньший катет одного из полученных прямоугольных треугольников. гипотенуза его = 17см. по т. пифагора найдём высоту: высота^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225;   высота = 15см s δ = 15/2 * 16 ( произведение половины высоты на основание) s δ = 7,5 *16 = 120(кв.см) ответ: 120 кв.см - площадь равнобедренного треугольника.

Доказать, что адое - ромб. в тр-ках дао и еао  ао - общая сторона, нужно доказать, что они равнобедренные. опустим высоты ок и ом на стороны ав и ас соответственно. высоты равны радиусу описанной  окружности. в тр-ках ако и амо ко=мо, ао - общая сторона и оба прямоугольные, значит они равны , значит  ∠као=∠мао  ⇒  ∠дао=∠еао. так как до║ае, а ао - секущая, то  ∠дао=∠аое и  ∠еао=∠доа, значит  ∠дао=∠доа и  ∠еао=∠еоа, следовательно тр-ки адо и    еао равнобедренные и равны (ао - общая, см. выше). вывод: ад=до=ое=еа. доказано.