Дан четырёхугольник abcd в котором угол а=90 градусов, угол b=120, угол d=30 градусов, известно что ab=5 вс=6. найдите cd

 . Сумма всех плоских углов всех граней тетраэдра равна сумме углов четырёх треугольников, т. е. 720o, поэтому, если суммы углов при каждой вершине равны, то каждая из этих сумм равна 180o . Обратное: ( – очевидно.  . Если R – радиус описанной около тетраэдра сферы, r – радиус вписанной сферы и центры этих сфер совпадают (рис. 1), то точка касания сферы с каждой гранью лежит лежит внутри этой грани и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние, т. е. является центром описанной около этого треугольника окружности радиуса .

(8) (4) . В любом тетраэдре перпендикуляры, опущенные из центра O описанной сферы на грани (рис. 1), попадают в центры описанных окружностей, и если радиусы этих окружностей равны R1, то точка O одинаково удалена от всех граней (на расстояние ), а т. к. все грани – остроугольные треугольники, то O – центр вписанной сферы.

( . Если радиусы описанных окружностей граней ABC и DBC тетраэдра ABCD равны, то BAC = BDC, поскольку эти углы острые и опираются на равные дуги BC в равных окружностях (рис. 2). Аналогично для всех пар смежных граней. Таким образом,

BDC + CDA + ADB = BAC+ CBA + ACB = 180o.

(5)  (6) . Сумма всех плоских углов всех граней тетраэдра равна сумме углов четырёх треугольников, т.е. 720o , поэтому, если суммы углов при каждой вершине равны, то каждая из этих сумм равна 180o . Обратное: (6)  (5) – очевидно. (4)  (8) . Если R – радиус описанной около тетраэдра сферы, r – радиус вписанной сферы и центры этих сфер совпадают (рис.1), то точка касания сферы с каждой гранью лежит лежит внутри этой грани и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние  , т.е. является центром описанной около этого треугольника окружности радиуса  . 

(8)  (4) . В любом тетраэдре перпендикуляры, опущенные из центра O описанной сферы на грани (рис.1), попадают в центры описанных окружностей, и если радиусы этих окружностей равны R1 , то точка O одинаково удалена от всех граней (на расстояние  ), а т.к. все грани – остроугольные треугольники, то O – центр вписанной сферы. 

(8)  (6) . Если радиусы описанных окружностей граней ABC и DBC тетраэдра ABCD равны, то  BAC =  BDC , поскольку эти углы острые и опираются на равные дуги BC в равных окружностях (рис.2). Аналогично для всех пар смежных граней. Таким образом, 

 BDC +  CDA +  ADB =  BAC+ CBA + ACB = 180o.