Найти основания трапеции, если длина отрезка параллельного основаниям трапеции и проходящего через точку пересечения диагоналей равен 1, 75 см, а длина отрезка параллельного основаниям трапеции и делящего трапецию на 2 равновеликие по площади равен 5 .

Удивительно, но эта такая сложная по формулировке задача решается в одно действие.
Угол между высотами, выходящими (например, тут полный произвол в обозначениях) из вершин углов A и B; равен 180 - С;
Это можно просто сосчитать, как 180 - (90 - A) - (90 - B) = A + B = 180 - C;
а можно просто заметить, что четырехугольник, образованный сторонами угла С и высотами (ну кусочками), выходящими из углов A и B, очевидно является вписанным (да даже еще проще - в нем два угла прямых).
а можно просто заметить, что у угла С и угла между высотами СТОРОНЫ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ. :)
Поэтому в обоих треугольниках напротив общей их стороны AB лежат углы, синусы которых равны.
Поэтому (по теореме синусов) равны радиусы окружностей, описанных вокруг этих треугольников.

ответ:   Угол А=68°

Объяснение:

    Треугольник, вершинами которого являются основания высот какого либо треугольника, называется ортотреугольником.

а) В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.

б) Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника.

     Для решения   данной задачи достаточно применить второе из указанных свойств.

     Высоты ∆ АВС перпендикулярны его сторонам.

∠ВВ1 делит угол В1 на два по 66°:2=33°. ⇒ ∠С1В1А=∠ВВ1А-∠ВВ1С1=90°-33°=57°

Аналогично ∠В1С1А=90°-0,5∠А1С1В1=90°-70°:2=55°.

Сумма углов треугольника  180°⇒

∠А=180°-(АС1В1+АВ1С1)=180°-(57°+55°)=68°.  

Углы В и С вычисляются таким же образом:

∠В=57°, ∠С=55°

—————

Обратим внимание на то, что углы при вершинах  ∆ АВС равны разности между прямым углом и половиной угла ортотреугольника при основании высоты из вершины исходного треугольника..

Для угла А=90°- 0,5•угол А1=90°-22°=68°

Для угла В=90°-0,5•угол В1=90°-33°=57°

Для угла С=90°-0,5•угол С1=90°-35°=55°