Ещё одна супер мега сложная по за 9 класс (которая тоже взята из тренировочного варианта огэ-2020) ​

 И все- таки она устная :

Глянул на решение выше, увидел  идентичность, решил изменить свое. Можно было обойтись без высоты АС вовсе, если вспомнить, что  биссектриса -  это ГМТ, равноудаленных от сторон угла, тогда, проведя из точки L высоту LК к стороне АВ, получим, что площади ΔАСL и ΔВАL можно найти как АС*СL/2 и АВ*LК/2, с учетом равенства СL

и LК отношение площадей будет АС/АВ=0.9, ну а дальше по стандарту.

ответ
Чертеж: :
ABCA1B1C1 - призма
В основании - треугольник АВС, где ВК - высота к АС
Нв боковой стороне AA1B1B диагональ AB1 = 10V2 и
L B1AAB = 45 град.
Решение:
L B1AAB = 45 град. =>
треугольник AB1B:
L ABB1 = 90 град
L BAB1 = AB1B = 45 град. =>
AB = BB1 или
AB1^2 = AB^2 + BB1^2 = 2*AB^2
(10V2)^2 = 2*AB^2 =>
AB^2 = (10V2)^2 /2 = 200/2 = 100 = 10^2
AB = BB1 = 10 - боковое ребро = высоте призмы
Треугольник ABC:
AB = BC = 10
BK = 8 =>
AB^2 = BK^2 + AK^2 =>
AK^2 = AB^2 - BK^2 = 10^2 - 8^2 = 36 = 6^2
AK = 6 =>
AC = 6*2 = 12 - основание треугольника АВС. =>
S(осн) = 1/2 * AC * BK = 1/2 * 12 * 8 = 48 - площадь основания

        В        К              С        Вначале через точку M проведем КЕIIAB. В па-
              M                           раллелограмме АВКЕ рассматриваем тр-ки АBM     A       Е              Д            ВMК и АMЕ. Высота к основанию АВ=высоте к основанию КM и=высоте к основанию ЕM. Отсюда Sbmk+Same=1/2h*KM+  +1/2h*EM=1/2h*(KM+EM)=1/2h*KE, a KE=AB  Sabm=1/2h*AB, т.е. Samb=   =Sbmk+Same. Аналогично доказывается, что   Scdm=Skmc+Semd
Sabm+Scmd=Sbmk+Same+Skmc+Semd, a Sbmk+Skmc=Sbmc и Same+Semd= Sadm, т.е. Sabm+Scmd=Sbcm+Sadm, что и требовалось доказать