Медианы ак и бм треугольника абц персекаються в точке о , ао=4см , ом=2см . найдите длины этих медиан ( можно с рисунком)(20б)

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1 от вершины.

AK= 3/2 AO =6

BM= 3 OM =6

Докажем.

N - середина AO, P - середина BO.

MK - средняя линия ACB, MK||AB, MK=AB/2

NP - средняя линия AOB, NP||AB, NP=AB/2

MK||NP, MK=NP => MKPN - параллелограмм

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

AN=NO=OK

BP=PO=OM

DA = 5см

Объяснение:

Смотри рисунок на прикреплённом фото.

Дано, что DA ⊥ плоскости ΔАВС.

Делаем дополнительное построение: из точки А опускаем перпендикуляр АК на продолжение стороны ВС. (АК⊥ВС). Точку  D соединяем с точкой К, образовав пл-ть ADK. Докажем, что DK - расстояние от точки D до прямой ВС, то есть DK⊥ BC.

Пл-ть ADK ⊥ пл-ти АВС, так как  прямая AD, принадлежащая пл-ти АDK, перпендикулярна пл-ти  АВС (AD∈ ADK и AD⊥пл-ти АВС ⇒ пл-ть АDK ⊥ пл-ти  ABС).  

Далее. Поскольку прямая ВС ⊥ АК (линии пересечения пл-тей АВС и АDK), то она перпендикулярна пл-ти ADK.

И поскольку ВС ⊥ пл-ти ADK, то она перпендикулярна каждой прямой пл-ти ADK, проходящей через точку пересечения К. Таким образом, DK⊥BC  и является расстоянием от точки D до прямой ВС. DK = 2√43, по условию.

∠АВК и ∠АВС смежные углы, поэтому

∠АВК  = 180° - ∠АВС = 180° - 120° = 60°.

АК = АВ·sin 60° = 14 · 0.5√3 = 7√3 (cм).

По теореме Пифагора DK² = AK² + DA², откуда

DA = √(DK² - AK²) = √(4 · 43 - 49 · 3) = √172 - 147 = √25 = 5(см)

По условию 3A+2B=180 . так как сумма углов в треугольнике равна 180 , получаем  B+3C=360  и 2C-A=180    
из теореме синусов AC=(BC*sinB)/sinA и AB=(BC*sinC)/sinA          
По теореме косинусов AB^2=BC^2+AC^2-2AC*BC*cosC , приравнивая к AB^2=BC^2+AC*AB получаем  AC-AB = 2*BC*cosC подставляя AC и AB выраженные через BC, требуется доказать что
sinB - sinC = 2*sinA*cosC  
(sinB-sinC)/(2*sinA) = cosC
Подставляя углы 
(sin(360-3C)-sinC)/(2*sin(2C-180)) =  -4*sinC*cos^2(C)/(-2*sin(2C)) =  
 2*sinC*cosC*cosC/(2*cosC*sinC) = cosC  чтд.