Найдите отношение площади наибольшего диагонального сечения правильной шестиугольной призмы к площади его основания, если высота призмы равна стороне основания.

Пусть основание АВ, вершина, из которой проведены медиана и высота - С, середину АВ обозначим М, основание высоты К (СК - высота к АВ). Опишем вокруг АВС окружность и продлим СМ и СК до пересечения с ней. Пусть это точки, соответственно Е для СМ и Р для СК.

Мы знаем, что дуги АЕ и ВР равны.

Поэтому ЕР II AB

=> ЕР перпендикулярно СР,

=> EC - диаметр,

и => М - центр окружности. В самом деле, АМ = МВ, но АВ не перпендикулярно ЕС, а это возможно, только если М - цетр окружности (можно указать на равенство СК и КР, поэтому СМ = МС, и опять - М - центр)

Итак ,мы имеем ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ треугольник АВС, угол АСВ = 90 градусов.

Из равенства дуг СВ и ВР (мы уже ДОКАЗАЛИ, что АВ - диаметр, пепендикулярный СР) следует, что угол СЕР в 2 раза больше ВСК,

то есть если считать угол  ВСК = 5*х, то

угол ЕСР = 8*х, угол СЕР = 10*х. 

Но угол ЕСР + угол СЕР = 90 градусов, откуда х = 5 градусов, угол САВ = угол КСВ = 5*х = 25 градусов, угол КВС = 90 - 25 = 65 градусов.

ответ углы треугольника 25, 65 и 90 градусов.

1) Обозначим координаты точки С(0:у;0).
Расстояния от точки С до точек А и В равны.
Запишем это условие в виде равенства.
(6-0)²+(1-у)²+(0-0)² = (2-0)²+(5-у)²+(8-0)².
Раскроем скобки и приведём подобные:
36+1-2у+у² = 4+25-10у+у²+64,
8у = 93-37 =56,
у = 56/8 = 7.
Координаты точки С(0;7;0).

2) По координатам точек находим длины сторон треугольника и по формуле Герона находим его площадь.
     АВ                ВС           АС              Р             р=Р/2
9,797959    8,4852814    8,48528    26,768522     13,3843,
S (ABC)= 33,941125.