На стороне ab треугольника abc отмечены точки c1, c2 (c2 ближе к b), на стороне bc – точки a1, a2 (a2 ближе к c), на стороне ca - точки b1, b2 (b2 ближе к a оказалось, что прямая c2a1 параллельна ca, a2b1 параллельна ab, b2c1 параллельна bc и все эти шесть прямых касаются вписанной окружности треугольника abc. радиусы вписанных окружностей треугольников ab2c1, bc2a1 и ca2b1 равны √2, √8 и √32 соответственно. найдите отношение ab: ac1

Медиана из вершины треголника делит противоположную сторону (основание) пополам. Высота из этого же угла перпендикулярна основанию. Треугольники, образовавшиеся при проведении высоты и медианы прямоугольные. У этих треуголников катеты образованные высотой и медианой равны. Катеты образованные делением основания медианой то же равны. Если катеты одного треугольника равны катетам другого треугольника, то такие треугольники равны. А значит боковые стороны исходного треугольника равны. Исходный треугольник равнобедренный.

Даны векторы k(-1;2), s(5;-12), c(2;x). Найдите:  a)cos(∠k, s) ;   b) число x, если k и c - коллинеарные;  c) число x, если s и c - перпендикулярны.

Объяснение:

a)Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин.

Найдем длины векторов:

Длина вектора  |k|=√( (-1)²+2²)=√(1 +4)=√5,

Длина вектора  |s|=√( 5²+(-12)²)=√(25+144)=√169=13,

Скалярное произведение k*s=-1*5+2*(-12)=-5-24=-29

cos(∠k, s)=  .

b) Два вектора коллинеарные ,если их координаты пропорциональны, значит для  k(-1;2),c(2;x) : ;

c)Вектора перпендикулярны , если их скалярное произведение равно  нулю :  ⇒ 12x=10 , x=  .