Решите и объясните только первый вариант.

Правильный треугольник ABC вписан в окружность с центром O и радиусом 8 см. На стороне этого треугольника построен квадрат. Определить радиус окружности, описанной около квадрата.

=======================================================

У правильного треугольника и квадрата общая сторона АВ ⇒  все стороны данных правильных многоугольников равны друг другуСторона правильного треугольника рассчитывается через радиус описанной окружности:а = r•√3Радиус окружности, описанной около квадрата, рассчитывается через сторону квадрата:R = a•√2/2 = (r•√3)•√2/2 = r•√6/2 = 8•√6/2 = 4√6ОТВЕТ: 4√6

Для решения задачи нужна площадь треугольника. 

Её можно тупо сосчитать по формуле Герона, а можно и сообразить, что треугольник "составлен" из двух Пифагоровых треугольников со сторонами (5,12,13) и (9,12,15), так, что катет 12 у них общий, а катеты 5 и 9 вместе составляют сторону 14 исходного треугольника.

То есть высота к стороне 14 равна 12.

Итак, площадь треугольника S = 14*12/2 = 84;

Полупериметр равен (13 + 14 + 15)/2 = 21;

Поэтому радиус вписанной окружности равен r = 84/21 = 4;

Сечение шара плоскостью треугольника как раз и дает нам круг, ограниченный вписанной окружностью. При этом радиус этой окружности r, расстояние d от центра до плоскости сечения (до плоскости треугольника) и радиус шара R связаны теоремой Пифагора.

R^2 = r^2 + d^2; 

Отсюда d = 3; (тут Пифагорова тройка 3,4,5)